Ta có : |4 + 2x| = - 4x

=> - 4x \(\ge\) 0

=> -x \(\ge\)0

=> x \(\le\)0

\(\orbr{\begin{cases}4+2x=4x\\4+2x=-4x\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}4x-2x=4\\4x+2x=-4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x=4\\6x=-4\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\left(\text{loại}\right)\\x=-\frac{2}{3}\left(\text{TM}\right)\end{cases}}\)

Vậy \(x=-\frac{2}{3}\)

|4 + 2x| = -4x

4 + 2x = -4x hoặc -(4 + 2x) = -4x

4 = -4x - 2x           -4 - 2x = -4x

4 = -6x                  -4 = -4x + 2x

-2/3 = x                  -4 = -2x

x = -2/3                  2 = x

                              x = 2

Gọi \(I\)là giao điểm của \(BC\)và \(AM\)còn \(H\)và \(K\)theo thứ tự là hình chiếu của \(B\)và \(C\)trên \(AM\)

Ta có: \(BI\ge BH\)và \(CI\ge CH\)( quan hệ đường xiên - đường vuông góc )

Đẳng thức xảy ra khi \(AM\perp BC\)

Suy ra:

           \(MA.BC=MA.\left(BI+BC\right)\ge MA.\left(BH+CK\right)\)

       \(\Leftrightarrow MA.BC\ge MA.BH+MA.CK\)

      \(\Leftrightarrow MA.BC\ge2S_{MAB}+2S_{MCA}\)                                                      \(\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\Leftrightarrow MA.BC\ge2S_{MAB}+2S_{MCA}\)         \(\left(2\right)\)

( Đẳng thức xảy ra khi \(MB\perp CA\))

      \(MC.AB\ge2S_{MCA}+2S_{MBC}\)                                                            \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế với ba bất đẳng thức \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\)ta được:

\(MA.BC+MB.CA+MC.AB\ge4.\left(S_{MAB}+S_{MCA}+S_{ABC}\right)\)

Đặt \(S=S_{ABC}\)thì \(S\)không đổi và \(T\ge4S\)

Vậy: \(T_{min}=4S\)khi \(M\)là trực tâm \(\Delta ABC\)

A B C M N

Dựng hình bình hành AMBN. Lúc đó \(MA.BC=BN.BC\ge2S_{BCN};MB.CA\ge2S_{CAN}\)

Suy ra \(MA.BC+MB.CA\ge2\left(S_{BCN}+S_{CAN}\right)=2\left(S_{ABC}+S_{AMB}\right)\) (Vì tứ giác AMBN là hình bình hành)

Tương tự: \(MB.CA+MC.AB\ge2\left(S_{ABC}+S_{BMC}\right);MC.AB+MA.BC\ge2\left(S_{ABC}+S_{CMA}\right)\)

Do vậy \(2\left(MA.BC+MB.CA+MC.AB\right)\ge2\left(3S_{ABC}+S_{AMB}+S_{BMC}+S_{CMA}\right)=8S_{ABC}\)

Suy ra \(2T\ge8S_{ABC}\Rightarrow T\ge4S_{ABC}.\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi BN vuông góc BC, AN vuông góc AC <=> M là trực tâm \(\Delta\)ABC.

Bài này nên vẽ hình thì hay hơn nha !

Kẻ tia phân giác \(Ot\)của góc \(xOy\). Gọi \(I\)là giao điểm của \(AB\)và \(Ot\); \(H,K\)lần lượt là hình chiêu của \(A,B\)trên \(Ot\)

Xét \(\Delta OAH\):

Vì \(\widehat{AOH}=30^0\)nên \(OH=2AH\)

Vì \(AH,AI\)lần lượt là đường vuông góc, đường xiên kẻ từ \(A\)đến đường thẳng \(Ot\)nên \(AH\le AI\)           \(\left(1\right)\)

Do vậy: \(OA\le2AI\)

Chứng minh tương tự ta có:

           \(OB=2BK\le2BI\)                                                                                                                       \(\left(2\right)\)       

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)ta có: \(OA+OB\le2AI+2BI=2\left(AI+BI\right)=2AB\)\(\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(H=I=K\)hay \(AB\perp Ot\)

Xét \(\Delta BCD\)có: \(\widehat{ABC}>\widehat{BDC}\)( tính chất góc ngoài )

Mặt khác: \(\widehat{DCE}>\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\)

Từ đó suy ra \(\widehat{DCE}>\widehat{BDC}\)( tính chất bắc cầu )

Xét \(\Delta BCD\)và \(\Delta CDE\)có:

             \(DB=CE\)( giả thiết )

             \(\widehat{BDC}< \widehat{DCE}\)( chứng minh trên )

             \(CD\)chung 

Do vậy \(BC>DE\)( quan hệ góc - cạnh đối diện trong hai tam giác )

\(\RightarrowĐpcm\)

Đề bài là gì vậy bn ?

Áp dụng định lí Py-ta-go cho hai tam giác vuông AKH và AIH, ta có:

    \(AK^2+HK^2=AH^2\)

    \(AI^2+HI^2=AH^2\)

   \(\Rightarrow AK^2+HK^2=AI^2+HI^2\)                                                                       \(\left(\cdot\right)\)

Giả sử \(AB\ne AC\)ta xét 2 trường hợp:

T/hợp 1: \(AB>AC\)

\(\Rightarrow AB-BK>AC-CI\)( vì \(BK=CI\)) hay \(AK>AI\)                      \(\left(1\right)\)

Mặt khác, vì \(AB>AC\)nên \(HB>HC\)( quan hệ đường xiên - hình chiếu )

\(\Rightarrow HB^2>HC^2\)hay \(HK^2+BK^2>HI^2+CI^2\Rightarrow HK>HI\)             \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)suy ra: \(AK^2+HK^2>AI^2+HI^2\): trái với  \(\left(\cdot\right)\)

T/hợp 2: \(AB< AC\): Chứng minh tương tự ta có: \(AK^2+HK^2< AI^2+HI^2\): trái với \(\left(\cdot\right)\)

Vậy điều giả sử \(AB\ne AC\)là sai, hay \(AB=AC\)

Ta có: a=42x+r=2.3.7(=42).x+r..

Vì a là số  nguyên tố nên sẽ không chia hết cho 2.Suy ra r không chia hết cho 2

Các hợp số không chia hết cho 2 dưới42:9,15,21,25,33,27,39,35.

Loại các số chia hết cho 3,7 ta còn:25.Suy ra r=25.

Vì a<200 nên a sẽ có những trường hợp sau đây:

TH1;a=42.1+25=67

TH2:a=42.2+25=109

TH3:a=42.3+25=151 

TH4:a=42.4+25=193 

VẬY a thuộc {67;109;151;193}