a: Ta có: \(MB=MC=\dfrac{BC}{2}\)

\(NA=ND=\dfrac{AD}{2}\)

\(BA=CD=\dfrac{BC}{2}\)

Do đó: MB=MC=NA=ND=BA=CD

Xét tứ giác BMDN có

BM//DN

BM=DN

Do đó: BMDN là hình bình hành

b: Xét tứ giác BMNA có

BM//NA

BM=NA

Do đó: BMNA là hình bình hành

Xét hình bình hành BMNA có BM=BA

nên BMNA là hình thoi

=>BN\(\perp\)AM tại P và P là trung điểm chung của AM và BN

Xét tứ giác CMDN có

CM//DN

CM=DN

Do đó: CMND là hình bình hành

Hình bình hành CMND có CM=CD

nên CMND là hình thoi

=>CN\(\perp\)MD tại Q và Q là trung điểm chung của DM và CN

Xét ΔMAD có

MN là đường trung tuyến

\(MN=\dfrac{AD}{2}\left(=AB\right)\)

Do đó: ΔMAD vuông tại M

Xét tứ giác PMQN có

\(\widehat{PNQ}=\widehat{MPN}=\widehat{MQN}\left(=90^0\right)\)

nên PMQN là hình chữ nhật

c: Để PMQN là hình chữ nhật thì PM=PN

=>AM=BN

Hình thoi ABMN có AM=BN

nên ABMN là hình vuông

=>\(\widehat{ABC}=90^0\)

d: \(AD=2\cdot AB=4\left(cm\right)\)

Xét ΔMAD vuông tại M có \(sinMAD=\dfrac{MD}{AD}\)

=>\(\dfrac{MD}{4}=sin30=\dfrac{1}{2}\)

=>MD=2(cm)

=>MQ=1(cm)

MN=AB

=>MN=2(cm)

ΔMNQ  vuông tại Q

=>\(MQ^2+QN^2=MN^2\)

=>\(QN=\sqrt{3}\left(cm\right)\)

Diện tích tứ giác PMQN là:

\(S_{PMQN}=\sqrt{3}\cdot1=\sqrt{3}\left(cm^2\right)\)

\(\left(-\dfrac{1}{5}\right)^2\cdot\left(\dfrac{5}{3}\right)^2\\ =\dfrac{1}{25}\cdot\dfrac{25}{9}=\dfrac{1}{9}\)

Ta có: `x+y=a+b`

`\Leftrightarrow (x+y)^2=(a+b)^2`

`\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=a^+2ab+b^2`

`\Leftrightarrow 2xy=2ab` (vì `x^2+y^2=a^2+b^2`)

`\Leftrightarrow xy=ab`

Khi đó: `x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)`

`=(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3` (đpcm)

để tính 16#8 thì mình phân tích các phép tính trên để tìm ra quy luật

3#2 = 5 (\(3^2-2^2=5\))

5#2 = 21 (5² - 2² = 21)

6#3 = 27 (6² - 3² = 27)

9#3 = 72 (9² - 3² = 72)

vậy quy luật là: a#b = a² - b²

vậy 16#8 = 16² - 8² = 256 - 64 = 192

Số dư không lớn hơn số chia nên số dư lớn nhất là:

\(49-1=48\)

Số bị chia là:

\(272\times49+48=13376\)

Đáp số: 13376

Số dư nhỏ hơn số chia nên số dư lớn nhất là:

\(49-1=48\)

Số bị chia là:

\(272\times49-48=13376\)

Đáp số: 13 376

`\frac{x+2}{3}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+2}{5}` và `2x-3y+z=-23` (1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và (1), ta được:

`\frac{x+2}{3}=\frac{y-5}{4}=\frac{z+2}{5}=\frac{2x+4}{6}=\frac{3y-15}{12}`

`=\frac{2x+4-(3y-15)+z+2}{6-12+5}`

`=\frac{(2x-3y+z)+21}{-1}`

`=\frac{-23+21}{-1}=\frac{-2}{-1}=2`

\(\Rightarrow \begin{cases} x+2=2 .3=6\\ y-5=2.4=8\\ z+2=2.5=10 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x=4\\ y=13\\ z=8 \end{cases}\)

sin 30° + sin 60°

= \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\)