\(x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

^_^yyyyyyk

\(Q=\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}+\frac{1}{1+z^2}+\frac{1}{1+x^2}\)

Ta có \(\frac{x}{1+y^2}=\frac{x\left(1+y^2\right)-xy^2}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\)

Tương tự \(\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{yz}{2}\)

                    \(\frac{z}{1+x^2}\ge z-\frac{zx}{2}\)

Lại có \(\frac{1}{1+y^2}=\frac{y^2+1-y^2}{1+y^2}=1-\frac{y^2}{1+y^2}\ge1-\frac{y^2}{2y}=1-\frac{y}{2}\)

Tương tự \(\frac{1}{1+x^2}\ge1-\frac{x}{2}\)

\(\frac{1}{1+z^2}\ge1-\frac{z}{2}\)

Cộng từng vế các bđt trên ta được 

\(Q\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}+3-\frac{x+y+z}{2}\)\(=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

ùm

a lô help ,e

a) \(A=\frac{1}{y-1}-\frac{y}{1-y^2}\left(y\ne\pm1\right)\)

\(\Leftrightarrow A=\frac{1}{y-1}+\frac{y}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}=\frac{y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}+\frac{y}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}=\frac{2y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\)

Thay y=2 (tm) vao A ta co:

\(A=\frac{2\cdot2+1}{\left(2-1\right)\left(2+1\right)}=\frac{5}{3}\)

Vay \(A=\frac{5}{3}\)voi y=2

b) Ta co: \(\hept{\begin{cases}A=\frac{2y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\left(y\ne\pm1\right)\\B=\frac{y^2-y}{2y+1}=\frac{y\left(y-1\right)}{2y+1}\left(y\ne\frac{-1}{2}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow M=\frac{2y+1}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)}\cdot\frac{y\left(y-1\right)}{2y+1}=\frac{\left(2y+1\right)\cdot y\cdot\left(y-1\right)}{\left(y-1\right)\left(y+1\right)\left(2y+1\right)}=\frac{y}{y+1}\)

Tổng vận tốc của hai xe là:

   44,5 + 35,5 = 80 ( km/giờ)

Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ 

Quãng đường AB dài số ki - lô - mét là:

 80 x 1,5 = 120 ( km )

       Đáp số: 120 km

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(abc\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3=1\)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^3b^3c^3}}=\frac{3}{abc}\)

Ta chứng minh: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le\frac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ab+bc+ca}{abc}\le\frac{3}{abc}\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le3=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)(luôn đúng)

Vậy bđt được chứng minh

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Dòng thứ 3 của Linh bị ngược dấu rồi. 

Chứng minh các khác: 

Có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=3\)  (@)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\)(1)

Ta chứng minh: \(\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)(2)

<=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\)đúng theo (@) 

=> (2) đúng 

Từ (1) ; (2) => \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1.

Do x khác 0, chia cả hai vế cho x², ta được :

A = \(\frac{1}{x^2+1+\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+1}\)

Áp dụng bđt cosi cho 2 số dương x² và 1/x² (x khác 0)

Ta có: x² + 1/x² \(\ge2\sqrt{x^2\cdot\frac{1}{x^2}}=2\)

=> \(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+1\ge3\)

=> \(\frac{1}{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+1}\le\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x² = 1/x² => x⁴ = 1 => \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy MaxA = 1/3 khi x = 1 hoặc x = -1

Chia cả tử và mẫu cho x²
ta được 1/(x^2+1+1:x^2)
ta dùng định lý cô sin vào x^2+1:x^2
ta có x^2+1:x^2 ≥ 2 √ x^2.1/x^2
suy ra x^2+1:x^2 ≥ 2suy ra
x^2+1+1:x^2≥ 3
suy ra 1/(x^2+1+1:x^2) ≤ 1/3
vậy max = 1/3