Lời giải:

Gọi tuổi anh là a và tuổi em là b. Theo bài ra ta có:

$a\times 2+a+b=3\times a+b=52$ (1)

$a-b-b=a-2\times b=1$

Suy ra $3\times a-6\times b=3$ (2)

Lấy $(1)$ trừ $(2)$ theo vế: $3\times a+b-(3\times a-6\times b)=52-3$

$3\times a+b-3\times a+6\times b=49$

$7\times b=49$

$b=49:7=7$

$a=1+2\times b=1+2\times 7=15$

 Vì \(P\left(x\right)⋮\left(2x-1\right)\) \(\Rightarrow P\left(\dfrac{1}{2}\right)=0\)

 Xét đa thức \(Q\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)\). Ta có \(Q\left(1\right)=Q\left(2\right)=Q\left(3\right)=Q\left(4\right)=0\) nên \(Q\left(x\right)\) có 4 nghiệm là \(1,2,3,4\). Nếu \(Q\left(x\right)\equiv0\) thì \(P\left(x\right)=x+1\), vô lý. Do đó \(Q\left(x\right)\) là đa thức khác hằng \(\Rightarrow\) bậc của \(Q\left(x\right)\) phải lớn hơn hoặc bằng 4. Mà \(P\left(x\right)\) có hệ số cao nhất là 1 \(\Rightarrow\) \(Q\left(x\right)\) cũng phải có hệ số cao nhất là 1.

 Mặt khác, \(Q\left(\dfrac{1}{2}\right)=P\left(\dfrac{1}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+1\right)=-\dfrac{3}{2}\)

 Đặt \(Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)R\left(x\right)\). Khi đó \(R\left(x\right)\) có hệ số cao nhất là 1 và \(R\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{8}{35}\).

 Khi đó, ycbt \(\Leftrightarrow\) tìm tất cả các đa thức \(R\left(x\right)\) có hệ số cao nhất là 1 mà \(R\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{8}{35}\).

 Nếu \(R\left(x\right)=-\dfrac{8}{35}\) thì vô lý.

 Nếu \(R\left(x\right)\) có bậc là 1 thì \(R\left(x\right)=x+a\). Thế \(x=\dfrac{1}{2}\) sẽ tìm được \(a=-\dfrac{51}{70}\) và do đó \(R\left(x\right)=x-\dfrac{51}{70}\) \(\Rightarrow Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-\dfrac{51}{70}\right)\). Thế vào \(Q\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)\) ta tìm được đa thức \(P\left(x\right)\) thỏa ycbt.

 Nếu \(R\left(x\right)\) có bậc 2 thì \(R\left(x\right)=x^2+ax+b\). Thế \(x=\dfrac{1}{2}\) thì ta có \(\dfrac{1}{2}a+b=-\dfrac{1}{2}\), sẽ có vô số cặp số \(\left(a,b\right)\) thỏa mãn điều này \(\Rightarrow\) tồn tại vô số đa thức \(Q\left(x\right)\) \(\Rightarrow\) tồn tại vô số đa thức \(P\left(x\right)\) thỏa ycbt.

 Tương tự như thế, ta xét bậc của \(R\left(x\right)\) tăng dần thì sẽ có vô số đa thức \(P\left(x\right)\) thỏa mãn ycbt. (nhưng sẽ không có công thức chung cho các đa thức)

Vì $P\left(x\right)⋮\left(2x-1\right)$ ⇒�(12)=0⇒P(21​)=0

 Xét đa thức $Q\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)$. Ta có $Q\left(1\right)=Q\left(2\right)=Q\left(3\right)=Q\left(4\right)=0$ nên $Q\left(x\right)$ có 4 nghiệm là $1,2,3,4$. Nếu $Q\left(x\right)\equiv 0$ thì $P\left(x\right)=x+1$, vô lý. Do đó $Q\left(x\right)$ là đa thức khác hằng $\Rightarrow$ bậc của $Q\left(x\right)$ phải lớn hơn hoặc bằng 4. Mà $P\left(x\right)$ có hệ số cao nhất là 1 $\Rightarrow$ $Q\left(x\right)$ cũng phải có hệ số cao nhất là 1.

 Mặt khác, �(12)=�(12)−(12+1)=−32Q(21​)=P(21​)−(21​+1)=−23​

 Đặt $Q\left(x\right)=\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)R\left(x\right)$. Khi đó $R\left(x\right)$ có hệ số cao nhất là 1 và �(12)=−835R(21​)=−358​.

 Khi đó, ycbt $\iff$ tìm tất cả các đa thức $R\left(x\right)$ có hệ số cao nhất là 1 mà �(12)=−835R(21​)=−358​.

 Nếu �(�)=−835R(x)=−358​ thì vô lý.

 Nếu $R\left(x\right)$ có bậc là 1 thì $R\left(x\right)=x+a$. Thế �=12x=21​ sẽ tìm được �=−5170a=−7051​ và do đó �(�)=�−5170R(x)=x−7051​ ⇒�(�)=(�−1)(�−2)(�−3)(�−4)(�−5170)⇒Q(x)=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−7051​). Thế vào $Q\left(x\right)=P\left(x\right)-\left(x+1\right)$ ta tìm được đa thức $P\left(x\right)$ thỏa ycbt.

 Nếu $R\left(x\right)$ có bậc 2 thì �(�)=�2+��+�R(x)=x2+ax+b. Thế �=12x=21​ thì ta có 12�+�=−1221​a+b=−21​, sẽ có vô số cặp số $\left(a,b\right)$ thỏa mãn điều này $\Rightarrow$ tồn tại vô số đa thức $Q\left(x\right)$ $\Rightarrow$ tồn tại vô số đa thức $P\left(x\right)$ thỏa ycbt.

 Tương tự như thế, ta xét bậc của $R\left(x\right)$ tăng dần thì sẽ có vô số đa thức $P\left(x\right)$ thỏa mãn ycbt. (nhưng sẽ không có công thức chung cho các đa thức)

Ta thấy 

\(f\left(x\right):g\left(x\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^{100}+x^{99}+x^{98}+x^5+2020\right):\left(x^2-1\right)\)

\(=\left(x^{98}+x^{97}+2x^{96}+2x^{95}+...2x^4+3x^3+2x^2+3x+2\right)\) có số dư là \(R\left(x\right)=3x+2022\)

\(\Rightarrow R\left(2021\right)=3.2021+2022=8085\)

\(A=\left(2023+1\right)\times2023:2\\ =2047276\)

Là bn cho đáp đi bạn

là sao? 

Biết rồi còn hỏi.

?????@@@@ Nguyễn Khánh Lộc

1+100+1-101x170

đăng linh tinh

số có 4 chữ số thỏa mãn đề bài có dạng: \(\overline{ab85}\)

a có 9 cách chọn

b có 10 cách chọn

Số các số có 4 chữ số mà hai chữ số tận cùng bằng 85 là: 

9 \(\times\) 10 = 90 ( số)

Vậy tập K có 90 phần tử 

 Số số hạng của biểu thức đó là:

   (100 - 2) : 2 + 1 = 50 (số hạng)

Tổng của biểu thức đó là:

  (100 + 2) x 50 : 2 = 2550