Tham khảo:

Ta có
a^3 + b^3 + c^3 = 3abc
<=> a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0
<=> (a + b)^3 + c^3 - 3ab(a + b) - 3abc = 0
<=> (a + b + c)^3 - 3c(a + b)(a + b + c) - 3ab(a + b + c) = 0
<=> (a + b + c)^3 - 3(a + b + c)(ab + bc + ca) = 0
<=> (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0
<=> a + b + c = 0  hoặc   a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0
(+) a + b + c = 0
=> A = (1 + a/b)(1+ b/c)(1 + c/a) = (a + b)(b + c)(c + a)/abc = -abc/abc = -1
(+) a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0
<=> 1/2.[(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2] = 0
<=> a - b = b - c = c - a = 0
<=> a = b = c
=> A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2.2.2 = 8

Theo bất đẳng thức Cô - si , ta có :

\(a^3+b^3+c^3\Rightarrow3.\sqrt{3}\left(a^3.b^3.c^3\right)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

\(\Rightarrow3a^3=3abc\)

\(\Rightarrow a^3=abc\Rightarrow a^2=bc\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\)

\(3b^3=3abc\Rightarrow b^3=abc=b^2=ac=\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=2.2.2\Rightarrow P=8\)

Xét hpt \(\hept{\begin{cases}2x+y=3\left(a=2;b=1;c=3\right)\\3x-y=1\left(a'=3;b'=-1;c'=1\right)\end{cases}}\)

Ta có \(\frac{a}{a'}=\frac{2}{3}\)và \(\frac{b}{b'}=\frac{1}{-1}=-1\), do đó \(\frac{a}{a'}\ne\frac{b}{b'}\), dẫn đến hpt đã cho chỉ có 1 nghiệm duy nhất.

\(\Rightarrow\)Chọn A

Đáp án:

Kẻ \(OH\perp AB\)tại H

Không mất tính tổng quát, giả sử A nằm giữa M và B.

Ta có \(MA+MB\)\(=MA+MA+AH+HB\)\(=2MA+AH+HB\)

Đường tròn (O;2cm) có dây AB, \(OH\perp AB\)tại H \(\Rightarrow\)H là trung điểm AB \(\Rightarrow AH=HB\left(=\frac{AB}{2}\right)\)

Do đó \(MA+MB=2MA+AH+HB\)\(=2MA+2AH\)\(=2\left(MA+AH\right)\)\(=2MH\)

Xét đường thẳng OH có MH là đường vuông góc kẻ từ M đến OH và OM là một đường xiên kẻ từ M đến OH nên \(MH\le OM=3cm\)\(\Rightarrow MA+MB=2MH\le2OM=2.3=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(MH=OM\Rightarrow H\equiv O\Rightarrow\)Đường thẳng d đi qua O.

Vậy GTLN của \(MA+MB\)là 6cm khi đường thẳng d đi qua O

Ta có:

Áp dụng định lý Pi-ta-go, ta có công thức để tìm đường chéo hình vuông\(=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\)Cứ sau một lần như thế thì cạnh hình vuông sẽ tăng lên \(\sqrt{2}\)hay diện tích hình vuông sau 1 lần như thế thì sẽ gấp\(\sqrt{2}^2=4lần\)

\(\Rightarrow\)Cứ một lần hình vuông bằng cạnh hình vuông trước thì diện tích sẽ gấp 4 lần:

\(\Rightarrow\)Nếu diện tích hình vuông thứ 2022 hay lặp lại cái trên 2022 lần thì diện tích sẽ gấp \(2022\cdot4=8088lần\)hình vuông ban đầu.

Gọi diện tích các hình vuông là S₁ ; S₂ ; ... S₂₀₂₂ với độ dài cạnh tương ứng là a ; a₂ ; a₃ ; ... ; a₂₀₂₂

Dựng hình vuông thứ n có cạnh a_n với độ dài cạnh là đường chéo hình vuông có cạnh a_{n - 1} (n \(\inℕ^∗\) )

=> S_n = (a_n)² (1)

S_{n - 1} = (a_n-1)² (2) 

Khi đó (a_n)²= 2(a_{n - 1})² 

=> \(a_n=\sqrt{2}a_{n-1}\)(3) 

Từ (3)(2)(1) => \(S_n=2.S_{n-1}\)

Khi đó với 1 < n < 2023

=> \(S_{2022}=2S_{2021}=2^2S_{2020}=...=2^{2021}S_1\)= 2²⁰²¹a²

a, Ta có : 

`2(a^2 + b^2) – (a + b)^2`

`= 2a^2 + 2b^2  – a^2 – 2ab – b^2`

`= a^2  – 2ab + b^2`

`= (a – b)^2 ≥ 0`

`=> đpcm`

Dấu “=” xẩy ra

`<=> a = b`

b, Ta có : 

 `3(a^2 + b^2 + c^2) – (a + b + c)^2`

`= 3a^2 + 3b^2 + 3c^2 – a^2 – b^2 – c^2 – 2ab – 2bc – 2ca`

`= 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 – 2ab – 2bc – 2ca`

`= (a^2 – 2ab + b^2) + (b^2 – 2bc + c^2) + (c^2 – 2ca + a^2)`

`= (a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2 ≥ 0` 

`=> đpcm`

Dấu “=” xây ra

`<=> a = b = c`

Cách khác : Biến đổi tương đương

a, \(\left(a+b\right)^2\le2\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\le2a^2+2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)luôn đúng

b, \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\le3a^2+3b^2+3c^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vì x;y trái dấu => 2 trường hợp

TH1  y < 0 ; x > 0

TH2 x < 0 ; y > 0

Xét TH1 ta có : \(\frac{xy-x^2}{\sqrt{\frac{-x}{y}}}=\frac{-x\left(x-y\right)}{\sqrt{-\frac{x}{y}}}=\frac{-x\left(x-y\right)}{\sqrt{-\frac{1}{y}}.\sqrt{x}}=\frac{-\left(x-y\right)\sqrt{x}}{\sqrt{-\frac{1}{y}}}=-\left(x-y\right)\left(\sqrt{x.\left(-y\right)}\right)\) ;

 \(\frac{xy-y^2}{\sqrt{-\frac{y}{x}}}=\frac{y\left(x-y\right)}{\sqrt{-y}.\sqrt{\frac{1}{x}}}=\frac{-\left(-y\right)\left(x-y\right)}{\sqrt{-y}.\sqrt{\frac{1}{x}}}=-\left(x-y\right)\left(\sqrt{x\left(-y\right)}\right)\)

=> ĐPCM 

Xét TH2 ta được \(\frac{xy-x^2}{\sqrt{-\frac{x}{y}}}=\frac{-x\left(x-y\right)}{\sqrt{-x}.\sqrt{\frac{1}{y}}}=\left(x-y\right)\left(\sqrt{-xy}\right)\)

\(\frac{xy-y^2}{\sqrt{\frac{-y}{x}}}=\frac{y\left(x-y\right)}{\sqrt{\frac{1}{-x}}.\sqrt{y}}=\sqrt{-xy}\left(x-y\right)\)

=> ĐPCM 

Có 

HT xincamon

3a²+3b²=10ab

<=>3a²-10ab+3b²=0

<=>3a²-9ab-ab+3b²=0

<=>3a(a-3b)-b(a-3b)=0

<=>(3a-b)(a-3b)=0

<=>\(\hept{\begin{cases}3a-b=0\\a-3b=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3a=b\\a=3b\end{cases}}}\)

Có:a>b>0=>a=3b

Thay a=3b vào P ta đc:

 P=\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{3b-b}{3b+b}=\frac{2b}{4b}=\frac{1}{2}\)

gggggg