Trước tiên cần chứng minh với mọi m,n,p thuộc R và x,y,z>0 ta có

m^2/x +n^2/y +p^2/z >=(a+b+c)^2/x+y+z  (1)

 Dấu "=" xảy ra <=>m/x=n/y=p/z

Thật vậy m,n thuộc R,x,y>0 ta có 

m^2/x+n^2/y >=(m+n)^2/x+y  (2)

<=> (m^2y +n^2x)(x+y) >= xy(m+n)^2

sau đó khai triển ra ta được (nx-my)^2 >=0 (đúng)

Dấu "="xảy ra <=>m/x=n/y

Áp dụng BĐT (2) ta có

m^2/x +n^2/y +p^2/z >=(m+n)^2/x+y +p^2/z >= (m+n+p)^2/x+y+z

Dấu "=" xảy ra <=> m/x=n/y=p/z

Áp dụng BĐT (1) ta có

Q=a^2/a+b b^2/b+c c^2/c+a >= (a+b+c)^2/2(a+b+c)=3 (do a+b+c=6)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=2

giúp mình với

\(\frac{1}{3}\left(2x-\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{243}\)

=> \(\left(2x-\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{243}:\frac{1}{3}=\frac{1}{243}\cdot3=\frac{1}{81}\)

=> \(\left(2x-\frac{1}{2}\right)^4=\left(\pm\frac{1}{3}\right)^4\)

=> \(\hept{\begin{cases}2x-\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\\2x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{5}{12}\\x=\frac{1}{12}\end{cases}}\)

(2x-1/2)^4=1/243:1/3

(2x-1/2)=1/243×3/1

(2x-1/2)^4=1/81

(2x-1/2)^4=1/3^4

(2x-1/2)=1/3

2x=1/3+1/2

2x=5/6

x=5/6:2/1

x=5/6×1/2

x=5/12

A=x(x+y-1)+2019

=>A=x.9+2019=2019

(do x+y=1)