\(=x^2+2xy+y^2+x-y\)

\(=\left(x+y+x-y\right)^2=4x^2\)

\(=\left(2x-y+2x+y\right)^3+3\left(2x-y\right)\left(2x+y\right)\left(2x-y+2x+y\right)=64x^3+3\left(4x^2-y^2\right).4x\)

\(=64x^3+12x\left(4x^2-y^2\right)=64x^3+48x^3-12xy^2=11x^3-12xy\)

\(\left(x^2-\dfrac{1}{3}\right)\left(x^4+\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{1}{9}\right)=x^8-\dfrac{1}{27}\)

a. Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành)

OE $=\frac{1}{2}$OD (gt)

OF $=\frac{1}{2}$OB (gt)

Suy ra: OE = OF

Xét tứ giác AECF, ta có:

OE = OF (chứng minh trên)

OA = OC (vì ABCD là hình bình hành

Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ) ⇒ AE // CF

b. Kẻ OM // AK

Trong ∆ CAK ta có:

OA = OC ( chứng minh trên)

OM // AK ( theo cách vẽ)

⇒ CM // MK (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong ∆ DMO ta có:

DE = EO (gt)

EK // OM

⇒ DK // KM (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DK = KM = MC ⇒ DK $=\frac{1}{2}$KC

$\begin{array}{c}A=7-x^2-3x\\ =-(x^2+3x+\backslash (\backslash dfrac\{9\}\{4\}\backslash ))+\; \backslash (\backslash dfrac\{37\}\{4\}\backslash )\\ =-{(x-\backslash (\backslash dfrac\{3\}\{2\}\backslash ))}^2+\; \backslash (\backslash dfrac\{37\}\{4\}\backslash )\\ do:-{\left(x-\backslash (\backslash dfrac\{3\}\{2\}\backslash )\right)}^2\le 0\\ =>-{\left(x-\backslash (\backslash dfrac\{3\}\{2\}\backslash )\right)}^2+\; \backslash (\backslash dfrac\{37\}\{4\}\backslash )\le \; \backslash (\backslash dfrac\{37\}\{4\}\backslash )\\ =>A\le \backslash (\backslash dfrac\{37\}\{4\}\backslash )\end{array}$

Dấu = xảy ra khi $x-\backslash (\backslash dfrac\{3\}\{2\}\backslash )=0=>x=\backslash (\backslash dfrac\{3\}\{2\}\backslash )$

vậy A max =\(\dfrac{37}{4}\)
đạt được khi $x=\backslash (\backslash dfrac\{3\}\{2\}\backslash )$
 

:>

- Ta có bất đẳng thức: \(\left|A\right|+\left|B\right|\ge\left|A+B\right|\left(1\right)\)

* Chứng minh: 

\(\Leftrightarrow\left(\left|A\right|+\left|B\right|\right)^2\ge\left(A+B\right)^2\)

\(\Leftrightarrow A^2+2\left|AB\right|+B^2\ge A^2+2AB+B^2\)

\(\Leftrightarrow\left|AB\right|\ge AB\) (luôn đúng)

- Dấu "=" xảy ra khi \(AB\ge0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}A\ge0;B\ge0\\A\le0;B\le0\end{matrix}\right.\)

- Quay lại bài toán:

\(A=\left|x-2022\right|+\left|x-2023\right|=\left|x-2022\right|+\left|2023-x\right|\ge\left|x-2022+2023-x\right|=\left|1\right|=1\)

- Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}x-2022\ge0;2023-x\ge0\\x-2022\le0;2023-x\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2022\le x\le2023\)

- Vậy \(MinA=1\)

\(A=\left|x-2022\right|+\left|2023-x\right|\ge\left|x-2022+2023-x\right|=1\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(2022\le x\le2023\)

Giả sử P(x) có nghiệm a nguyên, P(x)=(x−a).Q(x);Q(x)∈Z[x]
thì P(2)=(2-a)Q(2) P(1)=(1−a)Q(1);P(0)=(0−a)Q(0)

Thấy 0-a;1-a;2-a là 3 số nguyên liên tiếp suy ra 1 trong 3 phải chia hêt cho 3

hay ít nhất  trong P(0,1,2) phải có 1 đa thức chia hết cho 3 trái với giả thiết =>P(x) ko tồn tại nghiệm nguyên 

Q(x) thuộc Z vì P(x) chia hết cho x-a do a là nghiêmj nguyên của x(định lý bézout)

\(-5\left(x^2-\dfrac{2.6}{5}+\dfrac{36}{25}-\dfrac{36}{25}\right)+1=-5\left(x-\dfrac{6}{5}\right)^2+\dfrac{41}{5}\le\dfrac{41}{5}\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = 6/5 

.