Gọi 2 số chính phương liên tiếp đó là \(n^2,\left(n+1\right)^2\). Ta có:

\(P=n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)

\(=n^2+n^2+2n+1+n^2\left(n^2+2n+1\right)\)

\(=n^4+2n^3+3n^2+2n+1\)

Ta có \(\dfrac{P}{n^2}=n^2+2n+3+\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\)

\(=\left(n+\dfrac{1}{n}\right)^2+2\left(n+\dfrac{1}{n}\right)+1\)

\(=\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)^2\)

\(\Rightarrow P=\left[n\left(n+\dfrac{1}{n}+1\right)\right]^2=\left(n^2+n+1\right)^2=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)

 Dễ dàng kiểm chứng được \(2|n\left(n+1\right)\), do đó \(n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ, suy ra đpcm.

Hai số chính phương liên tiếp là \(n^2;\left(n+1\right)^2\)

Theo đề ta có :

\(n^2+\left(n+1\right)^2+n^2\left(n+1\right)^2\)

\(=n^2+n^2+2n+1+n^4+2n^3+n^2\)

\(=\left(n^4+n^3+n^2\right)+\left(n^3+n^2+n\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^2+n+1\right)+n\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)^2\)

\(=\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\)

mà \(n\left(n+1\right)⋮2\) (là 2 số tự nhiên liên tiếp)

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)+1\) là số lẻ

\(\Rightarrow\left[n\left(n+1\right)+1\right]^2\) là số chính phương lẻ

\(\Rightarrow dpcm\)

Ta có \(\left(x+y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)\left(x+4y\right)+y^4\)

\(=\left(x+y\right)\left(x+4y\right)\left(x+2y\right)\left(x+3y\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+4y^2\right)\left(x^2+5xy+6y^2\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+5y^2-y^2\right)\left(x^2+5xy+5y^2+y^2\right)+y^4\)

\(=\left(x^2+5xy+5y^2\right)^2\) là số chính phương. \(\Rightarrowđpcm\)

5 x 5 x 5 = 125

5 x 5 x 5 x 5 = 625

Vì vậy không thu được 300 mảnh giấy

cảm ơn bạn

\(-\dfrac{1}{8}\)

a, Quãng đường mà xe máy đi trước khi ô tô xuất phát:

45 x 3 = 135(km)

Hiệu 2 vận tốc:

60 - 45 = 15(km/h)

Ô tô đuổi kịp xe máy trong:

135:15=9(giờ)

b, Nơi gặp nhau cách A:

9 x 60 = 540 (km)

Đ.số: a,9 giờ ; b, 540km

a) 9h

b) 540km

A = 101 - 99 + 97 - 95 + 93 -91 + ... + 5-3 + 1 

A=( 101 - 99 ) + ( 97 - 95 ) +(93 - 91 ) + ... + (5 + 3 ) + 1 

A = (2 + 2 + 2 + .. + 2 )+ 1 

Xét dãy số: 101; 97; 93;...;5                       

Số số hạng của dãy số trên là 

[ ( 101 - 3 ) : 2 + 1 ] : 2 = 25 

tổng của dãy số A là 

2x 25 + 1 = 51 

Đáp số 51

A=887 .884                     B=886.885

A= 884 . 886 + 884          B = 886 . 884 +886

  Vì              884     <             886

                        ⇒A < B 

\(\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{5-2\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4}\)

\(=\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{3}-1\right)}{\sqrt{3}-1}+\dfrac{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}-2\right)}{2\left(\sqrt{5}-2\right)}\)

\(=\sqrt{5}+\dfrac{\sqrt{5}}{2}\)

\(=\dfrac{2\sqrt{5}+\sqrt{5}}{2}\)

\(=\dfrac{3\sqrt{5}}{2}\)

Ai giải được thì tớ tặng 100000000000000000000000000000000000000000000000000000 tick

2h30=2,5giờ

tổng vt 2 ô tô là:262,5:2,5=105(km/giờ)

ta có sơ đồ:

ô tô đi từ a: 3 phần

ô tô đi từ b: 4 phần

vt ô tô đi từ a là: 105:(3+4)x3=45(km/giờ)

vt ô tô đi từ b là:105-45=60(km/giờ)

Đ/S

Đổi 2h30p=2,5h

Tổng 2 vận tốc:

262,5 : 2,5 = 105(km/h)

Tổng số phần bằng nhau:

3+4=7(phần)

Vận tốc ô tô đi từ B là:

105: 7 x 4= 60(km/h)

Vận tốc ô tô đi từ A là:

105 - 60 = 45(km/h)