Gọi H là giao điểm của CN với BM

Xét ΔHCB có

CM,BN là các đường cao

CM cắt BN tại A

Do đó: A là trực tâm của ΔHCB

=>HA\(\perp\)CB tại K

Xét ΔBKA vuông tại K và ΔBNC vuông tại N có

\(\widehat{CBN}\) chung

Do đó: ΔBKA~ΔBNC

=>\(\dfrac{BK}{BN}=\dfrac{BA}{BC}\)

=>\(BN\cdot BA=BK\cdot BC\)

Xét ΔCKA vuông tại K và ΔCMB vuông tại M có

\(\widehat{KCA}\) chung

Do đó: ΔCKA~ΔCMB

=>\(\dfrac{CK}{CM}=\dfrac{CA}{CB}\)

=>\(CM\cdot CA=CK\cdot CB\)

\(BA\cdot BN+CA\cdot CM\)

\(=BC\cdot BK+BC\cdot CK=BC\left(BK+CK\right)=BC^2\)

Toán có lời văn chính là toán có lời giải đó em nhé.

\(A=5x\left(x+y\right)+y\left(y-5x\right)-\left(y-x\right)\left(y+x\right)+2024\)

\(=5x^2+5xy+y^2-5xy-\left(y^2-x^2\right)+2024\)

\(=5x^2+y^2-y^2+x^2+2024=6x^2+2024>=2024>0\forall x\)

=>A luôn dương

Xét ΔOAB và ΔOCD có

\(\widehat{OAB}=\widehat{OCD}\)(AB//CD)

\(\widehat{AOB}=\widehat{COD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAB~ΔOCD

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}\)(1)

Xét ΔOBP và ΔODQ có

\(\widehat{OBP}=\widehat{ODQ}\)(BP//DQ)

\(\widehat{BOP}=\widehat{DOQ}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOBP~ΔODQ

=>\(\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{OP}{OQ}\left(2\right)\)

Xét ΔOAM và ΔOCN có

\(\widehat{OAM}=\widehat{OCN}\)(AM//CN)

\(\widehat{AOM}=\widehat{CON}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔOAM~ΔOCN

=>\(\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OM}{ON}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{OP}{OQ}=\dfrac{OM}{ON}\)

=>\(OP\cdot ON=OM\cdot OQ\)

Ta có:

\(B=2x^2-2x+3\\ =\dfrac{1}{2}\cdot\left(4x^2-4x+6\right)\\ =\dfrac{1}{2}\cdot\left[\left(4x^2-4x+1\right)+5\right]\\ =\dfrac{1}{2}\cdot\left[\left(2x-1\right)^2+5\right]\\ =\dfrac{1}{2}\left(2x-1\right)^2+\dfrac{5}{2}\)  

\(\left(2x-1\right)^2\ge0\forall x\\ =>B=\dfrac{1}{2}\left(2x-1\right)^2+\dfrac{5}{2}\ge\dfrac{1}{2}\cdot0+\dfrac{5}{2}=\dfrac{5}{2}>0\)

=> B luôn có giá trị dương 

\(B=2x^2-2x+3\\ \Leftrightarrow B=x^2+x^2-2x+1+2\\ \Leftrightarrow B=\left(x^2-2x+1\right)+x^2+2\\ \Leftrightarrow B=\left(x-1\right)^2+x^2+2\)

Nhận xét:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2\ge0,\forall x\\x^2\ge0,\forall x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+x^2+2>0,\forall x\)

hay \(B>0,\forall x\)

Vậy...

Bài 4:

\(2x^5yz^4\cdot\left(-\dfrac{1}{4}y^2z^3\right)\cdot2xz^6\cdot\left(\dfrac{-2}{3}x^2y\right)\left(\dfrac{1}{2}xy^2\right)\left(-x\right)\\ =\left(2\cdot-\dfrac{1}{4}\cdot2\cdot-\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot-1\right)\cdot\left(x^5\cdot x\cdot x^2\cdot x\cdot x\right)\cdot\left(y\cdot y^2\cdot y\cdot y^2\right)\cdot\left(z^4\cdot z^3\cdot z^6\right)\\ =-\dfrac{1}{3}x^{10}y^6z^{13}\)

Phần hệ số là: `-1/3` 

Phần biến: `x^10y^6z^13`

Bậc: `10+6+13=29` 

Bài 5:

1) \(A=\dfrac{3}{2}x^5y^2\cdot\left(-2\right)xy=\left(\dfrac{3}{2}\cdot-2\right)\cdot\left(x^5\cdot x\right)\cdot\left(y^2\cdot y\right)=-3x^6y^3\)

Bậc là: `6+3=9` 

Phần hệ số: `-3`

Phần biến: `x^6y^3` 

2) Thay `x=-1,y=2` vào A ta có:

\(A=-3\cdot\left(-1\right)^6\cdot2^3=-3\cdot8=-24\)

Bài 4:

$2x^5yz^4(\frac{-1}{4}y^2z^3)2xz^6$

$=(2.\frac{-1}{4}.2).(x^5.x).(y.y^2).(z^4.z^3.z^6)$

$=-x^6y^3z^{13}$

Đơn thức trên gồm có:

+, Phần hệ số: -1

+, Phần biến: $x^6y^3z^{13}$

+, Bậc: $6+3+13=22$

$---$

$(\frac{-2}{3}x^2y)(\frac12 xy^2)(-x)$

$=[\frac{-2}{3}.\frac12.(-1)].(x^2.x.x).(y.y^2)$

$=\frac13 x^4y^3$

Đơn thức trên gồm có:

+, Phần hệ số: $\frac13$

+, Phần biến: $x^4y^3$

+, Bậc: $4+3=7$

Bài 5:

1) $A=\frac32 x^5y^2.(-2)xy$

$=[\frac32.(-2)].(x^5.x).(y^2.y)$

$=-3x^6y^3$

Bậc: $6+3=9$

Hệ số: $-3$

Biến: $x^6y^3$

2) Thay $x=-1;y=2$ vào $A$, ta được:

$A=-3.(-1)^6.2^3=-24$

\(4y^4+1\\ =4y^4+4y^2+1-4y^2\\ =\left(4y^4+4y^2+1\right)-4y^2\\ =\left(2y^2+1\right)^2-\left(2y\right)^2\\ =\left(2y^2-2y+1\right)\left(2y^2+2y+1\right)\)

Ta có: ΔAHD vuông tại H

=>AD là cạnh huyền

=>AD>AH

mà AD=BC(ABCD là hình thang cân)

nên BC>AH

Ta có: KI là đường trung trực của AH

=>KI\(\perp\)AH và K là trung điểm của AH

Ta có: KI\(\perp\)AH

AH\(\perp\)HD

Do đó: KI//HD

=>\(\widehat{KIH}=\widehat{IHD}\)(1)

Xét ΔAHD có

K là trung điểm của AH

KI//HD

Do đó: I là trung điểm của AD

ΔAHD vuông tại H

mà HI là đường trung tuyến

nên IH=ID

=>ΔIHD cân tại I

=>\(\widehat{IHD}=\widehat{IDH}=\widehat{ADC}\left(2\right)\)

ABCD là hình thang cân

=>\(\widehat{ADC}=\widehat{BCD}\)(hai góc kề đáy CD)(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{HIK}=\widehat{BCD}\)

a) ABCD là hình thang

=> \(\widehat{A}+\widehat{D}=180^o=>\widehat{A}=180^o-\widehat{D}\) 

Mà: 

\(\widehat{A}-\widehat{D}=20^o=>180^o-\widehat{D}-\widehat{D}=20^o\\ =>2\widehat{D}=180^o-20^o=160^o\\ =>\widehat{D}=\dfrac{160^o}{2}=80^o\)

=> \(\widehat{A}=180^o-80^o=100^o\)

\(\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) (ABCD là hình thang) 

Mà: \(\widehat{B}=2\widehat{C}=>2\widehat{C}+\widehat{C}=180^o=>3\widehat{C}=180^o=>\widehat{C}=60^o\)

\(=>\widehat{B}=2\cdot60^o=120^o\) 

b) Xét ΔABC có: \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{BAC}=180^o\)

\(=>\widehat{BAC}=180^o-120^o-50^o=10^o\)  

Mà: \(\widehat{DAC}+\widehat{BAC}=\widehat{DAB} =>\widehat{DAC}=\widehat{DAB}-\widehat{BAC}=100^o-10^o=90^o\)

`=> AD⊥AC`