Đặt A = \(\frac{n+1}{n+2}\)

=> \(\frac{1}{A}=\frac{n+2}{n+1}\)

=> \(\frac{1}{A}-1=\frac{n+2-n-1}{n+1}=\frac{1}{n+1}\)

Đặt B = \(\frac{n+3}{n+4}\)

=> \(\frac{1}{B}=\frac{n+4}{n+3}\)

=> \(\frac{1}{B}-1=\frac{n+4-n-3}{n+3}=\frac{1}{n+3}\)

Vì \(\frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+3}\Rightarrow\frac{1}{A}-1>\frac{1}{B}-1\Rightarrow\frac{1}{A}>\frac{1}{B}\Rightarrow A< B\)

Vậy \(\frac{n+1}{n+2}< \frac{n+3}{n+4}\)

Đặt \(A=\frac{n+1}{n+2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{A}=\frac{n+2}{n+1}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{A}-1=\frac{n+2-n+1}{n+1}=\frac{1}{n+1}\)

Đặt \(B=\frac{n+3}{n+4}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{B}=\frac{n+4}{n+3}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{B}-1=\frac{n+4-n-3}{n+3}=\frac{1}{n+3}\)

Vì \(\frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+3}\Rightarrow\frac{1}{A}-1>\frac{1}{B}-1\Rightarrow\frac{1}{A}>\frac{1}{B}\Rightarrow A< B\)

Vậy \(\frac{n+1}{n+2}< \frac{n+3}{n+4}\)

\(M=\left(n+1\right)\left(n+4\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)+1\)    

\(=\left(n^2+5n+4\right)\left(n^2+5n+6\right)+1\)     ( 1 ) 

Đặt \(t=n^2+5n+4\)    

\(\Rightarrow\left(1\right)=t\left(t+2\right)+1\)                                                          

\(=t^2+2t+1\)    

\(=\left(t+1\right)^2\)    

Vậy M là bình phương của 1 số nguyên 

\(M=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+1\)

\(=\left[\left(n+1\right)\left(n+4\right)\right]\left[\left(n+2\right)\left(n+3\right)\right]+1\)

\(=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

Đặt \(a^2+5a+4=x\)

ta có:\(M=x\left(x+2\right)+1\)

             \(=x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2\)

            Thay \(x=a^2+5a+4\)Ta được:

\(M=\left(a^2+5a+5\right)^2\)

Vì \(a\in Z\)nên \(a^2+5a+5\in Z\)

Do đó\(M=\left(a^2+5a+5\right)^2\)là bình phương của 1 số nguyên

a) \(n\left(n+3\right)-\left(n-1\right)\left(n+2\right)\)

\(=n^2+3n-n^2-n+2\)

\(=2n+2=2\left(n+1\right)\) chỉ có thể CM luôn chia hết cho 2 với mọi n nguyên thôi nhé

b) \(\left(n+2\right)\left(n^2-3n+1\right)-n\left(n^2-n\right)+3\)

\(=n^3-n^2-5n+2-n^3+n^2+3\)

\(=-5n+5=5\left(1-n\right)\) chia hết cho 5 với mọi n nguyên

n( n + 3 ) - ( n - 1 )( n + 2 )

= n² + 3n - ( n² + n - 2 )

= n² + 3n - n² - n + 2

= 2n + 2 = 2( n + 1 ) chia hết cho 2 thôi -..- ( mà cấy ni còn tùy cơ :D )

( n + 2 )( n² - 3n + 1 ) - n( n² - n ) + 3

= n³ - n² - 5n + 2 - n³ + n² + 3

= -5n + 5 = -5( n - 1 ) chia hết cho 5 ( đpcm )

Hmm...

Ta đánh giá:

\(\frac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}=\frac{\sqrt{a}.\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\sqrt{a}}\)

\(=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\) (Áp dụng BĐT Bunhia)

Tương tự CM được:

\(\frac{b}{b+\sqrt{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}}\le\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\) ; \(\frac{c}{c+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Cộng vế 3 BĐT trên lại ta được:

\(Vt\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Ko hiểu chỗ nào ib riêng:)

Ta có \( {\displaystyle \displaystyle \sum }cyc\)\(\frac{ab}{\sqrt{\left(1-c\right)^3\left(1+c\right)}}=\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{1-c^2}}\)\(=\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-c^2}}=\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM có \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)\\a+b\ge2\sqrt{ab}\end{cases}}\)

Do đó ta có \(\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\left(a+b\right)\sqrt{a^2+b^2+2\left(ab+bc+ca\right)}}\le\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{2\left(ab+bc\right)+2\left(ab+ca\right)}}\)

\(\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{ab+bc}+\frac{ab}{ab+ca}}\le\frac{1}{4\sqrt{2}}\sqrt{3}\sqrt{\Sigma_{cyc}\left(\frac{ab}{ab+bc}+\frac{ab}{ab+ca}\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=\(\frac{1}{3}\)

Bài 1:

Tủ thứ nhất hơn tủ thứ hai số sách:

48 : 3/4 = 64 ( quyển )

Số quyển sách lúc đầu của tủ thứ nhất:

( 664 + 64 ) : 2 = 364 ( quyển )

Số quyển sách lúc đầu của tủ thứ hai: 364 – 64 = 300 ( quyển )
Tự đáp số.

Bài 2:
 

Gọi chiều dài ban đầu là a ; chiều rộng ban đầu là b (m) (đk a > b > 0)

Ta có 2 x (a + b) = 5 x b

=> 2 x a + 2 x b = 5 x b

=> 2 x a = 3 x b

Lại có (a + 2) x (b + 2) - a x b = 64

=> a x b + 2 x a + 2 x b + 4 - a x b = 64

=> 2 x a + 2 x b = 64 - 4

=> 2 x a + 2 x b = 60

=> 3 x b + 2 x b = 60 (Vì 2 x a = 3 x b)

=> 5 x b = 60

=> b = 12

=> a = 3 x 12 : 2 = 18

Khi đó a + 2 = 20 ; b + 2 = 14

=> Diện tích sau khi mở rộng là 20 x 14 = 280 m²

                                                           Đáp số 280 m²

Vẽ lục giác đều ngoại tiếp đường tròn tâm O. Khi đó 6 đường tròn cần vẽ chính là các đường tròn nội tiếp các tam giác tạo thành từ O với 2 đỉnh kề nhau của lục giác ngoại tiếp đó.

Và ta có mỗi tam giác đó là tam đều nên tâm của 6 tam giác nhỏ chính là trọng tâm của các tam giác đều đó. Khi đó bán kính của 6 tam giác đó: 

\(R=\frac{1}{3}.Ro=\frac{1}{3}.9=3\)

S đáy bể là:

2,16 : 1,5 = 1,44 ( \(^{m^2}\))

Đổi 1,44 \(m^2\)= 14 400 \(cm^2\)

S viên gạch hình vuông là:

20 x 20 = 400 ( \(cm^2\))

Cần số viên gạch là:

14 400 : 400 = 36 ( viên )

Đáp số:...

diện tích đáy bể là :

    2,16 : 1,5 = 1,44(m2)

 đổi 1,44m2=14.400m2

diện tích 1 viên gạch là

    20 * 20= 400(cm2)

cần số viên gạch là

14.400 : 400=36(viên)

đs 36 viên

\(=a\left(a+3\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)+1\)                   

\(=\left(a^2+3a\right)\left(a^2+3a+2\right)+1\)    ( 1 ) 

Đặt \(t=a^2+3a\)         

( 1 ) \(\Leftrightarrow=t\left(t+2\right)+1\)       

\(=a\left(a+3\right)\left(a+1\right)\left(a+2\right)\) 

\(=\left(a^2+3a\right)\left(a+3a+2\right)+1\)    ( 1 ) 

Đặt \(t=a^2+3a\)      

\(\Rightarrow\left(1\right)=t\left(t+2\right)+1\)   

\(=t^2+2t+1\)   

\(=\left(t+1\right)^2\)     

Vậy a(a+1)(a+2)(a+3) + 1 là số chính phương