sửa: chứng minh \(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge\frac{3}{2}\)

áp dụng bđt Cauchy ta có

\(\frac{1}{1+ab}=1-\frac{1}{1+ab}\ge1-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=1-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+bc}\ge1-\frac{\sqrt{bc}}{2}\\\frac{1}{1+ca}\ge1-\frac{\sqrt{ca}}{2}\end{cases}}\)

cộng theo vế các bđt trên và áp dụng bđt Cauchy ta được

\(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge3-\frac{1}{2}\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

\(\ge3-\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\right)=3-\frac{a+b+c}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}1+ab=1+bc=1+ca\\a=b=c\\a+b+c=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)

a) n + 11 ⋮ n - 1

b) 7n ⋮ n - 3

c) n2 + 2n + 6 ⋮ n + 4

d) n2 + n +1 ⋮ n + 1

a) Để n + 11  \(⋮\)n - 1

=> n - 1 + 12  \(⋮\)n - 1

Vì n - 1  \(⋮\)n - 1

=> 12  \(⋮\)n - 1

=> n - 1 \(\inƯ\left(12\right)\)

=> n - 1 \(\in\left\{1;2;3;4;6;12\right\}\)

=> n \(\in\left\{2;3;4;5;7;13\right\}\)

b) Để 7n  \(⋮\)n - 3

=> 7n - 21 + 21  \(⋮\)n - 3

=> 7(n - 3) + 21  \(⋮\)n - 3

Vì 7(n - 3)  \(⋮\)n - 3

=> 21  \(⋮\)n - 3

=> n - 3 \(\inƯ\left(21\right)\)

=> n - 3 \(\in\left\{1;3;7;21\right\}\)

=> n \(\in\left\{4;6;10;24\right\}\)

c) Để n² + 2n + 6  \(⋮\)n + 4

=> (n² + 8n + 16) - 6n - 10  \(⋮\)n + 4

=> (n² + 4n) + (4n + 16) - 6n - 24 + 14  \(⋮\)n + 4

=> n(n + 4) + 4(n + 4) - 6(n + 4) + 14  \(⋮\)n + 4

=> n + 4(n + 4 - 6) + 14  \(⋮\)n + 4

=> (n + 4)(n - 2) + 14  \(⋮\)n + 4

Vì (n + 4)(n + 2)  \(⋮\)n  + 4

=> 14  \(⋮\)n + 4

=> n + 4 \(\inƯ\left(14\right)\)

=> n + 4 \(\in\left\{1;2;7;14\right\}\)

=> n \(\in\left\{-3;-2;3;10\right\}\)(Vì n là số tự nhiên)

Vậy n \(\in\left\{3;10\right\}\)

d) Để n² + n + 1  \(⋮\)n + 1

=> n² + 2n + 1 - n - 1 + 1 \(⋮\)n + 1

=> (n² + n) + (n + 1) - (n + 1) + 1  \(⋮\)n + 1

=> n(n + 1) + 1  \(⋮\)n + 1

Vì n(n + 1)  \(⋮\)n + 1

=> 1  \(⋮\)n + 1

=> n + 1 = 1

=> n = 0

Vậy n = 0

\(C=-2x^2+8x-15\)

\(\Leftrightarrow C=-2\left(x^2-4x+4\right)-7\)

\(\Leftrightarrow C=-7-2\left(x-2\right)^2\le-7\)

     Dấu = xảy ra khi x=2

vậy Max C =7 khi x=2

ko có min nhé

1)

\(=x^2-4x+4+y^2+2y+1\)

\(=\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2\)

2)

\(=a^2+2ab+b^2+a^2-2ax+x^2\)

\(=\left(a+b\right)^2+\left(a-x\right)^2\)

3)

\(=x^2-2x+1+y^2+6y+9\)

\(=\left(x-1\right)^2+\left(y+3\right)^2\)

4)

\(=x^2-2xy+y^2+x^2+10x+25\)

\(=\left(x-y\right)^2+\left(x+5\right)^2\)

5)

\(=a^2+2ab+b^2+4b^2+4b+1\)

\(=\left(a+b\right)^2+\left(2b+1\right)^2\)

1/ x² - 4x + 5 + y² + 2y 

= ( x² - 4x + 4 ) + ( y² + 2y + 1 )

= ( x - 2 )² + ( y + 1 )²

2/ 2a² + 2ab - 2ax + x² + b²

= ( a² + 2ab + b² ) + ( x² - 2ax + a² )

= ( a + b )² + ( x - a )²

3/ x² - 2x + y² + 6y + 10

= ( x² - 2x + 1 ) + ( y² + 6y + 9 )

= ( x - 1 )² + ( y + 3 )²

4/ 2x² + y² - 2xy + 10x + 25

= ( x² - 2xy + y² ) + ( x² + 10x + 25 )

= ( x - y )² + ( x + 5 )²

5/ a² + 2ab + 5b² + 4b + 1

= ( a² + 2ab + b² ) + ( 4b² + 4b + 1 )

= ( a + b )² + ( 2b + 1 )²

BÀI 1:

\(A=\left(x-10\right)^2+103\)

Có:    \(\left(x-10\right)^2\ge0\forall x\)

=>   \(A\ge103\)

DẤU "=" XẢY RA <=>   \(\left(x-10\right)^2=0\Rightarrow x=10\)

\(B=\left(2x+1\right)^2-6\)

Có:   \(\left(2x+1\right)^2\ge0\forall x\)

=>   \(B\ge-6\)

DẤU "=" XẢY RA <=>   \(\left(2x+1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\)

BÀI 3:

a) \(A=y^4+y^3-y^2-2y-\left(y^4+y^3+y^2-2y^2-2y-2\right)\)

\(A=y^4+y^3-y^2-2y-y^4-y^3+y^2+2y+2\)

\(A=2\)

b)   \(B=\left(2x\right)^3+3^3-8x^3+2\)

\(B=29\)

Bài 1.

A = x² - 20x + 103

A = ( x² - 20x + 100 ) + 3

A = ( x - 10 )² + 3 ≥ 3 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 10 = 0 => x = 10

=> MinA = 3 <=> x = 10

B = 4x² + 4x - 5

B = ( 4x² + 4x + 1 ) - 6

B = ( 2x + 1 )² - 6 ≥ -6 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> 2x + 1 = 0 => x = -1/2

=> MinB = -6 <=> x = -1/2

Bài 2.

A = -x² + 8x - 21

A = -x² + 8x - 16 - 5

A = -( x² - 8x + 16 ) - 5

A = -( x - 4 )² - 5 ≤ -5 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 4 = 0 => x = 4

=> MaxA = -5 <=> x = 4

B = lỗi đề :>

Bài 3.

a) y( y³ + y² - y - 2 ) - ( y² - 2 )( y² + y + 1 )

= y⁴ + y³ - y² - 2y - ( y⁴ + y³ + y² - 2y² - 2y - 2 )

= y⁴ + y³ - y² - 2y - y⁴ - y³ - y² + 2y² + 2y + 2

= 2 ( đpcm )

b) ( 2x + 3 )( 4x² - 6x + 9 ) - 2( 4x³ - 1 )

= ( 2x )³ + 27 - 8x³ + 2

= 8x³ + 27 - 8x³ + 2

= 29 ( đpcm )

\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...+\frac{1}{100}-\frac{1}{200}+\frac{1}{200}-\frac{1}{400}\)

\(A=1-\frac{1}{400}\)

\(A=\frac{399}{400}\)

a)

CM chiều xuôi.

Có:     \(2x+3y⋮17.\)    CMR:     \(9x+5y⋮17\)

\(\Rightarrow9\left(2x+3y\right)⋮17\)

\(\Rightarrow18x+27y⋮17\)

\(\Rightarrow18x+10y+17y⋮17\)

MÀ    \(17y⋮17\)

\(\Rightarrow2\left(9x+5y\right)⋮17\)

\(\Rightarrow9x+5y⋮17\left(đpcm\right)\)     do 2 ko chia hết cho 17

CM chiều đảo: 

Có:    \(9x+5y⋮17\)     . CMR:     \(2x+3y⋮17\)

=>   \(18x+10y⋮17\)

=>   \(18x+27y-17y⋮17\)

=>   \(18x+27y⋮17\)    do     \(17y⋮17\)

=>    \(2x+3y⋮17\)     do 9 ko chia hết cho 17.

VẬY QUA CM ĐẢO VÀ XUÔI TA CÓ ĐPCM.

**** ĐỀ BÀI THIẾU NGHIÊM TRỌNG LÀ    \(x;y\inℤ\)     nhé !!!!

a) Ta phải chứng minh: 2.x + 3.y chia hết cho 17 thì 9.x + 5.y chia hết cho 17

Ta có 4.(2x + 3y) + (9x+ 5y) = 17x + 17y chia hết cho 17

Do vậy : 2x + 3y chia hết cho 17; 4.(2x + 3y) chia hết cho 17; 9x + 5y chia hết cho 17

Ngược lại : Ta có 4.(2x + 3y) chia hết cho 17 mà (4;17) = 1 => 2x + 3y chia hết cho 17. 

b) Gọi số cần tìm là a. Theo đề bài ra ta có a:9 dư 5 => 2a - 1 chia hết cho 9

a :7 dư 4 => 2a - 1 chia hết cho 7; a: 5 dư 3 => 2a - 1 chia hết cho 5

Vì 2a - 1 chia hết cho 9,7,5 và a nhỏ nhất => 2a - 1 thuộc BCNN_(9;5;7)

9 = 32; 5 = 5; 7 = 7 => BCNN_(9;5;7) = 32.5.7 = 315. Ta có: 2a - 1 = 135 

2a = 315 + 1 => 2a = 316 => a = 316 : 2 = 158

=> Số thỏa mãn yêu cầu đề bài mà ta cần tìm là 158. 

\(\frac{10}{17}< \frac{19}{ }< \frac{10}{16}\)

\(\frac{190}{323}< \frac{190}{...}< \frac{190}{304}\)

... phải chia hết cho 10 => ... = 310 hoặc 320

\(\Rightarrow\frac{10}{17}< \frac{19}{31}< \frac{10}{16}\)và \(\frac{10}{17}< \frac{19}{32}< \frac{10}{16}\)

1. 3,8,15,24,35

2. 1,5,13,25,41,61

3. 3,13,33,63,103

4. 1,3,4,27,81,243

5. 1,3,10,12,19,21,28

6. 5,10,7,12,9,14,11

P/S: Câu 4 đáp số là 81 nếu dãy số đó là: 1,3,9,27,...,243