Lời giải:
$3S=1.2(3-0)+2.3.(4-1)+3.4(5-2)+...+n(n+1)[(n+2)-(n-1)]$

$=[1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+n(n+1)(n+2)]-[0.1.2+1.2.3+2.3.4+...+(n-1)n(n+1)]$

$=n(n+1)(n+2)$
$\Rightarrow 3S+n(n+1)(n^2-2)=n(n+1)(n+2)+n(n+1)(n^2-2)$
$=n(n+1)(n+2+n^2-2)=n(n+1)(n^2+n)=n(n+1)n(n+1)=[n(n+1)]^2$ là số chính phương.

Lời giải:

$A=1(2-1)+2(3-1)+3(4-1)+...+1999(2000-1)$

$=\underbrace{(1.2+2.3+3.4+...+1999.2000)}_{M}-\underbrace{(1+2+3+...+1999)}_{N}$

Có:

$N=1999(1999+1):2=1999000$ 

$M=1.2+2.3+3.4+....+1999.2000$

$3M=1.2(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+...+1999.2000(2001-1998)$

$=(1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+1999.2000.2001)-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+...+1998.1999.2000)$

$=1999.2000.2001$

$\Rightarrow M=\frac{1999.2000.2001}{3}$

$\Rightarrow A=M-N=\frac{1999.2000.2001}{3}-1999000=2664667000$

nếu để phân số đó là số nguyên thì :

                ta có \(\frac{2n+1}{n-1}\) \(\Rightarrow\frac{2n-2+3}{n-1}\)\(\Rightarrow\frac{2\left(n-1\right)+3}{n-1}\)\(\Leftrightarrow n-1\inƯC\left(3\right)=\left\{-3;-1;1;3\right\}\)

                        nếu n-1=-3=>n=-4

                       n-1=-1=>n=-2

                       n-1=1=>n=0

                        n-1=3=>n=1

               vậy n \(\in\left\{-4;-2;0;1\right\}\)

A

sai hết rồi tra à đáp án là B vì mình làm violimpic rồi mình làm đúng

a) Để A là phân số thì n - 3 \(\ne\)0 => n \(\ne\)3

b) Để A là một số nguyên thì 5 \(⋮\)n - 3 => n - 3 \(\in\)Ư(5) = {1; -1; 5; -5}

Lập bảng : 

Vậy ...