Lời giải:
Để $(n+5)(n+6)\vdots 6n$ thì trước tiên $(n+5)(n+6)\vdots n$

$\Rightarrow n^2+11n+30\vdots n$

$\Rightarrow 30\vdots n$

$\Rightarrow n\in\left\{1; 2;3;5;6;10; 15; 30\right\}$

Thử lại vào điều kiện đề thì thấy $n\in\left\{1; 3; 10; 7\right\}$ thỏa mãn.

2x-4+7=x-25

2x-x-4+7=25

x-4+7=25

x-4=18 =>x=22

x bằng -28 nha

a. Gọi $d=ƯCLN(4n+3, 2n+3)$

$\Rightarrow 4n+3\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow 2(2n+3)-(4n+3)\vdots d$

$\Rightarrow 3\vdots d$

Để 2 số nguyên tố cùng nhau thì $d$ chỉ có thể bằng $1$.

Điều này xảy ra khi $(d,3)=1$

$\Rightarrow 2n+3\not\vdots 3$

$\Rightarrow 2n\not\vdots 3$

$\Rightarrow n\not\vdots 3$

Vậy mọi số nguyên $n$ không chia hết cho $3$ thì thỏa mãn đề bài.

b.

Gọi $d=ƯCLN(7n+13, 2n+4)$

$\Rightarrow 7n+13\vdots d; 2n+4\vdots d$

$\Rightarrow 2(7n+13)-7(2n+4)\vdots d$

$\Rightarrow -2\vdots d$

Để 2 số nguyên tố cùng nhau thì $d=1$. Điều này xảy ra khi $(2,d)=1$

$\Rightarrow 7n+13, 2n+4$ không đồng thời chia hết cho $2$.

Mà $2n+4\vdots 2$ rồi nên chỉ cần $7n+13\not\vdots 2$

$\Rightarrow 7n+13$ lẻ

$\Rightarrow 7n$ chẵn

$\Rightarrow n$ chẵn.

Lời giải:

Theo bài ra ta có:

$\frac{n+17}{n+22}=\frac{5}{6}$

$\Rightarrow 6(n+17)=5(n+22)$
$\Rightarrow 6n+102 = 5n+110$

$\Rightarrow 6n-5n=110-102$
$\Rightarrow n = 8$

Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN(5n+6, 6n+7)$

$\Rightarrow 5n+6\vdots d; 6n+7\vdots d$
$\Rightarrow 6(5n+6)-5(6n+7)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow \frac{5n+6}{6n+7}$ là phân số tối giản.

Lời giải:

$xy+3x-5y=3$

$x(y+3)-5(y+3)=-12$

$(x-5)(y+3)=-12$

Với $x,y$ nguyên thì $x-5, y+3$ cũng là số nguyên. Mà tích của chúng bằng -12 nên ta xét các TH sau:

TH1: $x-5=1, y+3=-12\Rightarrow x=6; y=-15$

TH2: $x-5=-1, y+3=12\Rightarrow x=4; y=9$

TH3: $x-5=2, y+3=-6\Rightarrow x=7; y=-9$

TH4: $x-5=-2, y+3=6\Rightarrow x=3; y=3$

TH5: $x-5=3, y+3=-4\Rightarrow x=8; y=-7$

TH6: $x-5=-3, y+3=4\Rightarrow x=2; y=1$

TH7: $x-5=4, y+3=-3\Rightarrow x=9; y=-6$

TH8: $x-5=-4, y+3=3\Rightarrow x=1; y=0$

TH9: $x-5=6, y+3=-2\Rightarrow x=11; y=-5$

TH10: $x-5=-6, y+3=2\Rightarrow x=-1; y=-1$
TH11: $x-5=12, y+3=-1\Rightarrow x=17; y=-4$

TH12: $x-5=-12, y+3=1\Rightarrow x=-7, y=-2$