Ta có :

\(\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)+\left(y+z\right)\left(y^2-z^2\right)+\left(z+x\right)\left(z^2-x^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)^2.\left(x-y\right)+\left(y+z\right).\left(y^2-x^2+x^2-z^2\right)+\left(z+x\right)\left(z^2-x^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)-\left(y+z\right)\left(x^2-y^2+z^2-x^2\right)+\left(z+x\right)\left(z^2-x^2\right)\)

\(=\left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)-\left(y+z\right)\left(x^2-y^2\right)-\left(y+z\right)\left(z^2-x^2\right)+\left(z+x\right)\left(z^2-x^2\right)\)

\(=\left(x^2-y^2\right)\left(x+y-y-z\right)-\left(z^2-x^2\right).\left(y+z-z-x\right)\)

\(=\left(x^2-y^2\right).\left(x-z\right)-\left(z^2-x^2\right).\left(y-x\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x+y\right)\left(x-z\right)+\left(z-x\right)\left(z+x\right)\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right).\left[\left(x+y\right)\left(x-z\right)+\left(z-x\right).\left(x+z\right)\right]\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2-zx+xy-yz+zx+z^2-x^2-xz\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(z^2-zx+xy-yz\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left[z.\left(z-x\right)-y.\left(z-x\right)\right]\)

\(=\left(x-y\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x-z\right)\)

\(19+6\sqrt{10}=10+2.3\sqrt{10}+9=\left(\sqrt{10}+3\right)^2\)

=> \(A=\sqrt[10]{\frac{19+6\sqrt{10}}{2}}\cdot\sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}\)

= \(\sqrt[10]{\frac{\left(\sqrt{10}+3\right)^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2}}\sqrt[5]{3\sqrt{2}-2\sqrt{5}}\)

= \(\sqrt[5]{\frac{\sqrt{10}+3}{\sqrt{2}}}.\sqrt[5]{\sqrt{2}\left(3-\sqrt{10}\right)}\)

= \(\sqrt[5]{\frac{\sqrt{10}+3}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}\left(3-\sqrt{10}\right)}\)

\(=\sqrt[5]{3^2-10}=-1\)

Xét \(\Delta MND\)có \(BE=EC=CM\)

\(\Rightarrow ME=\frac{2}{3}MB\)

Mà MB là trung tuyến nên ME là trọng tâm

\(\rightarrow\)NE là trung tuyến của \(\Delta NMD\)

Mặt khác, DE // AC do DE // KC

Mà C là trung điểm của ME

\(\rightarrow\)K là trung điểm của DM

\(\Rightarrow\)Ba điểm N,E,K thẳng hàng(đpcm)

Không biết lời giải như thế nào nhưng hình của em chưa đúng rồi Đạt nhé!

Ta có 1.4/2.3=(2-1)(3+1)/2.3=1-1/2+1/3-1/2.3

2.5/3.4=(3-1)(4+1)/3.4=1-1/3+1/4-1/3.4

...

Suy ra N=(1-1/2+1/3-1/2.3)+(1-1/3+1/4-1/3.4)+....+(1-1/99+1/100-1/99.100)

N=98+1/100−1/2−1/2.3−1/3.4−....−1/99.100

Xét P=1/2.3+1/3.4+....+1/99.100

P= 1/2−1/3+1/3−1/4+.....+1/99−1100 

P=1/2−1/100

Vậy N=98-1+1/50

N=97+1/50

Vậy 97<N<98(ĐPCM)

Ta có : \(\widehat{xOy}\)và \(\widehat{yOz}\)là 2 góc kề bù

\(\Rightarrow\widehat{xOy}+\widehat{yOz}=180^o\)

    \(130^o+\widehat{yOz}=180^o\)

                     \(\widehat{yOz}=180^o-130^o\)

                     \(\widehat{yOz}=50^o\)

Vì ^xOy và ^yOz là hai góc kề bù nên ^xOy + ^yOz = 180⁰

=> 130⁰ + ^yOz = 180⁰

=> ^yOz = 50⁰

Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa,dùng thước đo góc của mình để vẽ đúng hơn

a) \(\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x+3}=\frac{6}{x+4}\)

ĐKXĐ \(x\ne-2,-3,-4\)

=> \(\frac{1}{x+2}+\frac{2}{x+3}-\frac{6}{x+4}=0\)

=> \(\frac{3x+7}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}-\frac{6}{x+4}=0\)

=> \(\frac{\left(3x+7\right)\left(x+4\right)-6\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=0\)

=> (3x + 7)(x + 4) - 6(x² + 5x + 6) = 0

=> 3x² + 19x + 28 - 6x² - 30x - 36 = 0

=> -3x² - 11x - 8 = 0

=> -3x² - 3x - 8x - 8 = 0

=> -3x(x + 1) - 8(x + 1) = 0

=> (x + 1)(-3x - 8) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=-\frac{8}{3}\end{cases}}\)

Vậy ...

b) Thiếu dữ liệu cuả đề 

c) \(\frac{6x+22}{x+2}-\frac{2x+7}{x+3}=\frac{x+4}{x^2+5x+6}\)

ĐKXĐ \(x\ne-2;-3\)

=> \(\frac{\left(6x+22\right)\left(x+3\right)-\left(x+2\right)\left(2x+7\right)}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\frac{x+4}{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\)

=> \(6x^2+40x+66-x\left(2x+7\right)-2\left(2x+7\right)=x+4\)

=> \(6x^2+40x+66-2x^2-7x-4x-14=x+4\)

=> 4x² + 29x + 52 = x + 4

=> 4x² + 29x + 52 - x - 4 = 0

=> 4x² + 28x + 48 = 0

=> 4(x² + 7x + 12) = 0

=> x² + 7x +12 = 0

=> x² + 3x + 4x + 12 = 0

=> x(x + 3) + 4(x + 3) = 0

=> (x + 3)(x + 4) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=-4\end{cases}}\) 

Mà \(x\ne-2,-3\)nên x = -3 loại

Vậy x = -4

Với \(x\ge-\frac{1}{2}\)

2f(x) = \(2\sqrt{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)}+4\sqrt{x+3}-4x\)

\(=-\left(2x+1\right)+2\sqrt{\left(2x+1\right)\left(x+2\right)}-\left(x+2\right)-\left(x+3\right)+4\sqrt{x+3}-4+10\)

\(=-\left(\sqrt{2x+1}-\sqrt{x+2}\right)^2-\left(\sqrt{x+3}-2\right)^2+10\le10\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}2x+1=x+2\\x+3=4\end{cases}}\Leftrightarrow x=1\)

=> min 2f(x) = 10 tại x = 1

=> min f(x) = 5 tại x = 1

2^x-3=16

=>2^x-3=2⁴

^=>x-3=4

^=>x=4+3

^=>x=7

^{Vậy x=7.}

2^{x - 3} = 16

=> 2^{x - 3} = 2⁴

=> x - 3 = 4

=> x = 4 + 3

=> x = 7 

a, xét tam giác ABM và tam giác KBM có :

BM chung
góc ABM = góc KBM do BM là pg của góc ABC (gt)
AB = BK (gt)
=> tam giác ABM = tam giác KBM (c-g-c)
b, tam giác ABM = tam giác KBM (Câu a)
=> góc MAB = góc MKB (đn)
góc MAB = 90
=> góc MKB = 90
xét tam giác EMA và tam giác CMK có :

góc CMK = góc EMA (đối đỉnh)
MA = MK do tam giác ABM = tam giác KBM (câu a)
góc MAE = góc MKC = 90
=> tam giác EMA = tam giác CMK (cgv-gnk)
=> MA = MC (đn)

=> tam giác EMC cân tại M (đn)
c, tam giác ABC vuông tại A (gt) => góc ABC + góc ACB = 90 (đl)
góc ACB = 30 (gt)
=> góc ABC = 60 (1)
BA = BK (gt)
AE = CK

do tam giác MEA = tam giác MCK (câu b)
AE + AB = BE
CK + KB = BC
=> BE = BC
=> tam giác BEC cân tại B (đn) và (1)
=> tam giác BEC đều (dh)

:)

a/ Xét tg MBC và tg ABC có chung đường cao hạ từ C xuống AB

\(\frac{S_{MBC}}{S_{ABC}}=\frac{MB}{AB}=\frac{1}{4}\Rightarrow S_{MBC}=\frac{S_{ABC}}{4}\)

\(S_{AMC}=S_{ABC}-S_{BMC}=S_{ABC}-\frac{S_{ABC}}{4}=\frac{3xS_{ABC}}{4}\)

Xét tg AMN và tg AMC có chung đường cao hạ từ A xuống MC nên

\(\frac{S_{AMN}}{S_{AMC}}=\frac{MN}{MC}=\frac{1}{3}\Rightarrow S_{AMN}=\frac{S_{AMC}}{3}=\frac{1}{3}x\frac{3xS_{ABC}}{4}=\frac{S_{ABC}}{4}\)

\(\Rightarrow S_{MBC}=S_{AMN}\)

b/

\(S_{ANC}=S_{AMC}-S_{AMN}=\frac{3xS_{ABC}}{4}-\frac{S_{ABC}}{4}=\frac{S_{ABC}}{2}=\frac{32}{2}=16cm^2\)