Ta có BĐt cầnd chứng minh \(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)^2}{a^2+4}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow2\left(a+b\right)^2\le3\left(a^2+4\right)\)

<=>\(2\left(a^2+b^2+2ab\right)\le3\left(a^2+4\right)\Leftrightarrow2\left(4+2ab\right)\le12+3a^2\)

<=>\(4ab\le3a^2+4=4a^2+b^2\)

<=>\(0\le4a^2+b^2-4ab\Leftrightarrow0\le\left(2a-b\right)^2\left(LĐ\right)\)

=> BĐt cần chứng minh luôn đúng 

^_^ 

mình cần gấp nên pls giải hộ 

Cho đường tròn (O) và dây cung AB( AB không phải là đường kính) cố định. P là điểm di động trên đoạn AB.( P khác A,B và P khác trung điểm của AB). Đường tròn tâm C, D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) lần lượt tại A và B. Hai đường tròn (C) , (D). cắt nhau tại N( N khác P) . CMR:

a. ˆANP=ˆBNPANP^=BNP^ và 4 điểm O,D,C,N cùng thuộc 1 đường tròn.

b. Đường trung trực của ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động

Theo talet ta có:
\(\hept{\begin{cases}x1+x2=-\frac{b}{a}=m-2\left(1\right)\\x1.x2=\frac{c}{a}=-m^2+3m-4\left(2\right)\end{cases}}\)
Theo đề bài ta có: \(\left|\frac{x1}{x2}\right|=2\)
TH1: \(x1=2.x2\)
Thay vào (1) ta đc: \(3.x2=m-2\Leftrightarrow x2=\frac{m-2}{3}\)
Thay \(x1=2.\frac{m-2}{3};x2=\frac{m-2}{3}\)vào (2) ta đc:
\(\frac{2.\left(m-2\right)^2}{9}=-m^2+3m-4\)(vô nghiệm)
TH2: \(x1=-2.x2\)
Thay vào (1) ta đc: \(-x2=m-2\Leftrightarrow x2=2-m\)
Thay \(x1=-2.\left(2-m\right);x2=2-m\)vào (2) ta đc:
\(-2\left(m-2\right)^2=-m^2+3m-4\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=4\\m=1\end{cases}}\)
Vậy m=4 hoặc m=1
 

Giải hệ pt này là ra
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m-2\\x_1.x_2=-m^2+3m-4\\\left|\frac{x_1}{x_2}\right|=2\end{cases}}\)

Ta có: a , b , c > 0  => a , b , c là 3 số thực dương thỏa mãn điều kiện: ab + ac + bc = 0

Áp dụng tính chất tỉ dãy số bằng nhau ta có:

\(\frac{a^4}{b+3c}+\frac{b^4}{c+3a}+\frac{c^4}{a+3b}=\frac{a^4+b^4+c^4}{b+3+c+3a+a+3b}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4+b^4+c^4}{4a+4b+4c}=\frac{a^4+b^4+c^4}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{4}\) (Đúng với đề bài)

\(\RightarrowĐPCM\)

Ps; Không chắc nha! Mình chưa học lớp 9

Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1+9\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+3y\right)^2\ge1\)

\(10\left(x^2+y^2\right)\ge1\Leftrightarrow A\ge\frac{1}{10}\)

Tự tìm dấu "="

làm câu b chứ câu a chưa làm được vì đây mới lớp 8

Trên MA lấy I sao cho MI = MB. Tam giác MBI đều, suy ra \(\widehat{IBM}=60^o\)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\)

\(\Delta ABI=\Delta CBM\left(c-g-c\right)\)nên AI = MC. Từ đó MA = MB + MC.

\(\Rightarrow\)\(MA=MB+MC\left(ĐPCM\right)\)