c, Tam giác ABC cân tại A nên đường cao cũng là đường trung tuyến

=> DB = DC

Xét tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến

=> ED =  BC/2

d, c/m đc O là trung điểm AH

Xét tam giác AEH vuông tại E có EO là trung tuyến

=> OH=OE

=> góc OHE = góc OEH = góc BHD ( vì góc OHE và góc BHD là 2 góc đối đỉnh )

Tương tự cm đc DE=DB

=> góc DEB = góc DBE

Có : góc OED = góc OEH + góc HED = góc BHD + góc EBD = 90 độ

=> DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Ta có : \(x-\sqrt{x}+1=\left(\sqrt{x}\right)^2-2\cdot\sqrt{x}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{2}{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\le\frac{2}{\frac{3}{4}}=\frac{8}{3}\)

hay : \(A\le\frac{8}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\)

Vậy : Max \(A=\frac{8}{3}\) tại \(x=\frac{1}{4}\)

x.x + 3.x.y+y.y

=> x(x+3) + y(y+1)

+, Nếu x,y đều khác 3 

=> x và y đều ko chia hết cho 3 

=> x^2 và y^2 đều chia 3 dư 1

=> x^2+y^2 chia 3 dư 2

Mà 3xy chia hết cho 3

=> x^2+3xy+y^2 chia 3 dư 2

=> x^2+3xy+y^2 ko phải số chính phương

=> trong 2 số x,y phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3

Gia sử x chia hết cho 3

=> x=3

=> A = x^2+3xy+y^2 = 9+9y+y^2 = y^2+9y+9

Đặt A = k^2 ( k thuộc N )

<=> y^2+9y+9 = k^2

<=> 4y^2+36y+36 = (2k)2

<=> (2y+9)^2 - 45 = (2k)^2

<=> (2y+9)-(2k)^2 = 45

<=> (2y-2k+9).(2y+2k+9) = 45

Đến đó bạn tự làm nha nhưng nhớ kết quả gồm những hoán vị mà bạn tìm đc vì lúc đầu đã giả sử x chia hết cho 3

Tk mk nha

Đặt \(a=x,b=\sqrt{2-2x^2}\left(b\ge0\right),\left(-1< a< 1\right)\)
\(\Rightarrow2a^2+b^2=2\left(1\right)\)

Theo đb: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\left(2\right)\)

Giải hpt (1) và (2) tìm a, b kết hợp đkiện r giải ra x

Đặt \(\sqrt{2-x^2}=a\)

=> a^2 + x^2 = 2

Theo pt có : 1/x + 1/a = 2

Đến đó bạn tự giải nha

Còn bài của Lê Anh Tú thì đặt sai dẫn đến biến đổi sai nha 

Tk mk nha

Đổi ẩn hoặc dùng BĐT Schwarz-Cauchy là đc

Muốn giải hản hoi thì bảo t nhé.

Thôi, để t giải luôn cho.

Áp dụng BĐT Schwarz-Cauchy, t có:

\(M=x-\sqrt{x-2009}=x-2.\frac{1}{2}\sqrt{x-2008}\ge x-\left(\frac{1}{4}+x-2009\right)=2008+\frac{3}{4}=\frac{8033}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2009+\frac{1}{4}\)

\(\hept{\begin{cases}x+\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\end{cases}}\)

\(\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\right)+\left(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=65\)

\(\left(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\right)-\left(x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\right)\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=5\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{x}+\sqrt{7}\\b=\sqrt{xy}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a^2-2b\right)a=65\\\left(a^2-4b\right)a=5\end{cases}}}\)

\(\left[\left(a^22b\right)a=65\right]-\left[\left(a^2-4b\right)a=5\right]\)

\(\Rightarrow2ab=60\Rightarrow ab=30\Rightarrow a^3=125\)

\(\Rightarrow a=5;b=6\)

Vì a = 5 và b = 6

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=5\\\sqrt{xy}=6\end{cases}}\)\(x^2-5x+6=0\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x};\sqrt{y}\right)\in\left\{\left(2;3\right);\left(3;2\right)\right\}\)

\(\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(9;4\right);\left(4;9\right)\right\}\)

ĐK: \(x,y\ge0\)

\(\hept{\begin{cases}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=30\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=35\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=30\\\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right).\left[\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-3.\sqrt{xy}\right]=35\end{cases}}\)

Đặt \(a=\sqrt{xy}\left(a\ge0\right),b=\sqrt{x}+\sqrt{y}\left(b\ge0\right)\), hệ trở thành : 

\(\hept{\begin{cases}ab=30\\b.\left(b^2-3a\right)=35\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}ab=30\\b^3-3ab=35\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}ab=30\\b^3-3.30=35\end{cases}}\) 

Từ đó tính ra b, rồi tính ra a, rồi tính ra x,y 

Khoảng cách tối đa là \(\sqrt{3049.\left(3049+6400000.2\right)}\approx197577\left(m\right)\)