Đặt S_n=\(\left(2+\sqrt{3}\right)^n+\left(2-\sqrt{3}\right)^n\)

Ta có: \(\left(2+\sqrt{3}\right)\) và \(\left(2-\sqrt{3}\right)\)là nghiệm của phương trình:

x²   -  (\(\left(2+\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)\)) x + (\(\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)\)) = 0 <=>

x²-4x+1=0 =>x² =4x -1 Nhân 2 vế cho x^n-2 :

xⁿ=4x^n-1 -x^n-2

.Thế x = \(\left(2+\sqrt{3}\right)\)được:

 \(\left(2+\sqrt{3}\right)^n=4\left(2+\sqrt{3}\right)^{n-1}-\left(2+\sqrt{3}\right)^{n-2}\) (1)

Thế x = \(\left(2-\sqrt{3}\right)\)được: 

\(\left(2-\sqrt{3}\right)^n=4\left(2-\sqrt{3}\right)^{n-1}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{n-2}\)(2)

\(\left(2+\sqrt{3}\right)^n+\left(2-\sqrt{3}\right)^n=4\cdot\left(\left(2+\sqrt{3}\right)^{n-1}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{n-1}\right)-\left(\left(2+\sqrt{3}\right)^{n-2}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{n-2}\right)\)

<=> S_n = 4S_n-1-S_n-2 (*)

Ta có S₀ = 2 là số chẵn, S₁ = 4 là số chẵn => S₃ là số chẵn

Tương tự => S₄, S₅, ... S_n là số chẵn với mọi n >=0 => S₂₀₁₆ = \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}\) là số chẵn (đpcm)

Bổ sung dùm mình dưới (2):

Lấy (1)+(2) theo vế ta được:

Bác học lớp 9 phải ko bài này khá đơn giản mình thấy ai cũng làm đc chỉ cần độg não thui chứ bác hỏi thế rùi vô phòng thi thì sao lớp 9 phải tự học thui

Đặt A là biểu thức cần CM 

ví dụ Từ ĐK a + b + c = 3 => a² + b² + c² ≥ 3 ( Tự chứng minh ) 

Áp dụng BĐT quen thuộc x² + y² ≥ 2xy 

a^4 + b² ≥ 2a²b (1) 
b^4 + c² ≥ 2b²c (2) 
c^4 + a² ≥ 2c²a (3) 
 

tiếp đi bạn huy

Vì nếu điều kiện là xyz>0 thì không tồn tại min(xyz) mà min(xyz) sẽ tiến tới 0 (mà không bằng 0 ) 
Bạn có thể chứng minh được điều này: 

Nếu x,y,z > 0 thì bài toán quá đơn giản và có nhiều cách như 

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương 
(x+y+z)^3 >= 27xyz 
=> (xyz)^2 >= 37 
Do vậy min (xyz) = 3√3 (căn bậc 3 của 3 nhá :D) 


Dấu = xảy ra <=> x=y=z= √3 (căn bậc 3 của 3 nhá :D) 

ÁP dụng BĐT cô-si, ta có \(a^3+b^3+c^3\ge3abc\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}\ge\frac{3}{2}\)

Mà \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}\ge\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{2c^2+a^2+b^2}\)

Tương tự, ta có 

\(\frac{a^2+b^2}{c^2+ab}+\frac{b^2+c^2}{a^2+bc}+\frac{c^2+a^2}{b^2+ac}\ge2\left(\frac{a^2+b^2}{a^2+c^2+b^2+c^2}+...\right)\)

Đặt \(\left(a^2+b^2;...\right)=\left(x;y;z\right)\)

Ta có VT\(\ge\frac{3}{2}+2\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)=\frac{3}{2}+2\left(\frac{x^2}{xy+zx}+\frac{y^2}{ỹ+yz}+\frac{z^2}{zx+zy}\right)\)

=> \(VT\ge\frac{3}{2}+2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}\)

=> \(A\ge\frac{9}{2}\left(ĐPCM\right)\)

Dấu = xảy ra <=> a=b=c>0

Ta thấy |36^x - 5^y| >= 0

Dấu "=" xảy ra <=> 36^x - 5^y = 0

<=> 36^x = 5^y

Ta có : 5^y luôn lẻ với mọi y thuộc N* 

=> 36^x lẻ

<=> 36^x = 1

<=> x = 0

<=> y = 0

Vậy GTNN của |36^x - 5^y| = 0 <=> x=y=0

Tk mk nha

Ta thấy \(\left|36^x-5^y\right|\ge0\)với mọi x,y

Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(\left|36^x-5^y=0\right|\)khi và chỉ khi \(36^x-5^y=0\)

\(\Rightarrow36^x=5^y\Rightarrow x=y=0\)

Vậy giá trị của biểu thức nhỏ nhất bằng 0 khi và chỉ khi x = y = 0