Cho $\triangle A B C$ nhọn co $A B<A C$ nội tiếp đường trờn $(O ; R)$, các đường cao $A D, B E, C F$
1) Chứng minh tứ giác $B C E F$ nội tiếp.
2) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $B C$. Tiếp tuyến tại $B$ của đường tròn ( $O$ ) cá́t tia $O M$ tại $T$. Chứng minh $O M . O T=R^{2}$ và $\overline{M A O}=T \overline{T A D}$.
3) Gọi $I$ là giao điếm của $A T$ và $E F$. Chứng minh $\triangle A F I \propto \triangle A C M$ và $I$ là trung điểm của đoạn thắng $E F$.

Cho tam giác abc nhọn có H là trực tâm, I là trung điểm BC. Qua A dựng đường thẳng song song với BC. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của BH, CH với đường thẳng d. Trên tia dối của tia IA lấy điểm D sao cho I là trung điểm AD
a) Gọi K là giao điểm của DC với đường thẳng d. Chứng minh C là trung điểm DK.
b) Chứng Minh DH là tia phân giác MDN.

Một người mang ra chợ 5 giỏ táo gồm hai loại. Số táo trong mỗi giỏ lần lượt là: 20 ; 25 ; 30 ; 35 và 40. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại táo. Sau khi bán hết một giỏ táo nào đó, người ấy thấy rằng : Số táo loại 2 còn lại đúng bằng nửa số táo loại 1. Hỏi số táo loại 2 còn lại là bao nhiêu?