a) \(\lim\limits_{ }\left(\sqrt{n^2-n+1}-n\right)\)

\(=\lim\limits_{ }\left[\dfrac{\left(\sqrt{n^2-n+1}-n\right)\left(\sqrt{n^2-n+1}+n\right)}{\sqrt{n^2-n+1}+n}\right]\)

\(=\lim\limits_{ }\left(\dfrac{1-n}{\sqrt{n^2-n+1}+n}\right)\)

\(=\lim\limits_{ }\left(\dfrac{\dfrac{1}{n}-1}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+1}\right)\)

\(=-\dfrac{1}{2}\)

b) \(\lim\limits_{ }\left(\dfrac{-3}{4n^2-2n+1}\right)=0\)

c) \(\lim\limits_{ }\dfrac{n^2+n+5}{2n+1}=+\infty\)

d) \(\lim\limits_{ }\left(\sqrt{n^2-1}-\sqrt{3n^2+2}\right)\)

\(=\lim\limits_{ }\left(\dfrac{-2n^2-3}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{3n^2+2}}\right)\)

\(\lim\limits_{ }\left(\dfrac{-2n-\dfrac{3}{n}}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{3+\dfrac{2}{n^2}}}\right)\)

\(=-\infty\)

a: \(lim\left(\sqrt{n^2-n+1}-n\right)\)

\(=\lim\limits\dfrac{n^2-n+1-n^2}{\sqrt{n^2-n+1}+n}=\lim\limits\dfrac{-n+1}{\sqrt{n^2-n+1}+n}\)

\(=\lim\limits\dfrac{-1+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+1}=\dfrac{-1+0}{\sqrt{1-0+0}+1}=\dfrac{-1}{2}\)

b: \(\lim\limits\dfrac{-3}{4n^2-2n+1}\)

\(=\lim\limits\dfrac{-\dfrac{3}{n^2}}{4-\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}}=\dfrac{0}{4-0+0}=0\)

c: \(\lim\limits\dfrac{n^2+n+5}{2n+1}=\lim\limits\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{5}{n^2}\right)}{n\left(2+\dfrac{1}{n}\right)}\)

\(=\lim\limits\dfrac{n\left(1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{5}{n^2}\right)}{2+\dfrac{1}{n}}=+\infty\)

d: \(\lim\limits\left(\sqrt{n^2-1}-\sqrt{3n^2+2}\right)\)

\(=\lim\limits\left(\dfrac{n^2-1-3n^2-2}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{3n^2+2}}\right)=\lim\limits\left(\dfrac{-2n^2-3}{\sqrt{n^2-1}+\sqrt{3n^2+2}}\right)\)

\(=\lim\limits\left(\dfrac{n^2\left(-2-\dfrac{3}{n^2}\right)}{n\cdot\left(\sqrt{1-\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{3+\dfrac{2}{n^2}}\right)}\right)\)

\(=\lim\limits\left(\dfrac{n\left(-2-\dfrac{3}{n^2}\right)}{\sqrt{1-\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{3+\dfrac{2}{n^2}}}\right)=+\infty\)

a:

d:

\(\dfrac{sin^3x+sinx\cdot cos^2x-cosx}{1-2\cdot sinx\cdot cosx}\)

\(=\dfrac{sinx\left(sin^2x+cos^2x\right)-cosx}{\left(sinx-cosx\right)^2}\)

\(=\dfrac{sinx-cosx}{\left(sinx-cosx\right)^2}=\dfrac{1}{sinx-cosx}\)

a) Trong mặt phẳng (SAC), gọi I là giao điểm của AO và MN. Khi đó vì \(MN\subset\left(BMN\right)\) nên I chính là giao điểm của (BMN) và SO.

b) Ta có \(I\in SO\subset\left(SBD\right)\) nên \(I\in\left(SBD\right)\). Trong mặt phẳng (SBD), gọi K là giao điểm của BI và SD. Khi đó vì \(K\in BI\subset\left(BMN\right)\) nên K chính là giao điểm của (BMN) và SD.

a: Trong mp(SAC), gọi K là giao điểm của MN với SO

mà MN\(\in\left(BMN\right)\)

nên \(K=SO\cap\left(BMN\right)\)

b: Vì K là giao của MN và SO

mà \(MN\in\left(BMN\right);SO\in\left(SBD\right)\)

nên \(K\in\left(BMN\right)\cap\left(SBD\right)\)

mà \(B\in\left(BMN\right)\cap\left(SBD\right)\)

nên \(\left(BMN\right)\cap\left(SBD\right)=BK\)

Gọi E là giao điểm của BK với SD

=>K là giao điểm của SD với (BMN)

 Có \(u_0=\dfrac{1}{2.0^2-3}=-\dfrac{1}{3};u_1=\dfrac{1}{2.1^2-3}=-1\)

 Ta có \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2\left(n+1\right)^2-3}< \dfrac{1}{2n^2-3}=u_n\) với \(n\ge2\)

 Khi đó \(\left\{u_n\right\}\) là dãy giảm với \(n\ge2\). Do đó \(u_n\le u_2=\dfrac{1}{2.2^2-3}=\dfrac{1}{5}\) hay \(\left\{u_n\right\}\) bị chặn trên bởi \(\dfrac{1}{5}\).

 Mặt khác, với \(n\ge2\) thì \(u_n>0\). Do đó \(\left\{u_n\right\}\) bị chặn dưới bởi \(-1\).

 Nếu \(n\) chẵn thì đpcm trở thành \(\dfrac{3n+1}{4n-1}\le\dfrac{3n+4}{4n-1}\) \(\Leftrightarrow3n+1\le3n+4\) \(\Leftrightarrow1\le4\), luôn đúng.

 Nếu \(n\) lẻ thì đpcm thành \(\dfrac{3n-1}{4n+1}\le\dfrac{3n+4}{4n-1}\)

 \(\Leftrightarrow\left(3n-1\right)\left(4n-1\right)\le\left(4n+1\right)\left(3n+4\right)\)

 \(\Leftrightarrow12n^2-3n-4n+1\le12n^2+16n+3n+4\)

 \(\Leftrightarrow26n+3\ge0\) (luôn đúng)

 Vậy với mọi \(n\inℕ^∗\) thì \(\dfrac{3n+\left(-1\right)^n}{4n-\left(-1\right)^n}\le\dfrac{3n+4}{4n-1}\)