\(Q=\dfrac{1}{1\cdot4}+\dfrac{1}{4\cdot7}+\dfrac{1}{7\cdot10}+\dots+\dfrac{1}{91\cdot94}+\dfrac{1}{94\cdot97}\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot\left(\dfrac{3}{1\cdot4}+\dfrac{3}{4\cdot7}+\dfrac{3}{7\cdot10}+\dots+\dfrac{3}{91\cdot94}+\dfrac{3}{94\cdot97}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot\left(1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+\dots+\dfrac{1}{91}-\dfrac{1}{94}+\dfrac{1}{94}-\dfrac{1}{97}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot\left(1-\dfrac{1}{97}\right)\)

\(=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{96}{97}=\dfrac{32}{97}\)

___

Công thức: \(\dfrac{a}{n\left(n+a\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+a}\)

Lời giải:

Sửa đề: $x(x+1)$ thay vì $x(x+2)$.
$\frac{1}{21}+\frac{1}{28}+\frac{1}{36}+...+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{2}{9}$
$\frac{2}{42}+\frac{2}{56}+\frac{2}{72}+....+\frac{2}{x(x+1)}=\frac{2}{9}$

$2\left[\frac{1}{6.7}+\frac{1}{7.8}+\frac{1}{8.9}+...+\frac{1}{x(x+1)}\right]=\frac{2}{9}$

$\frac{7-6}{6.7}+\frac{8-7}{7.8}+\frac{9-8}{8.9}+...+\frac{(x+1)-x}{x(x+1)}=\frac{1}{9}$

$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{9}$

$\frac{1}{6}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{9}$

$\frac{1}{x+1}=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}$

$\Rightarrow x+1=18$

$\Rightarrow x=17$

11h kém 15ph=10h 45ph

10h 45ph-9h 25ph=1h20ph

Lời giải:

$10A=\frac{10^{13}+10}{10^{13}+1}=1+\frac{9}{10^{13}+1}> 1+\frac{9}{10^{14}+1}=\frac{10^{14}+10}{10^{14}+1}=10B$
$\Rightarrow A> B$

Lần sau bạn lưu ý gõ đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người đọc đề của bạn dễ hiểu hơn nhé.

x,y là các số thế nào em? Số nguyên? Số tự nhiên?.....

$P = (1 + \frac{1}{2}) + (1 + \frac{1}{2^2}) + ... + (1 + \frac{1}{2^{200}}) < 2 + 2 + ... + 2 = 200 \times 2 = 400$

Số học sinh nam của khối 6 là:

$120\cdot\dfrac58=75$ (học sinh)

Số học sinh nữ của khối 6 là:

$120-75=45$ (học sinh)

\(A=\dfrac{7}{9}+\dfrac{7}{72}+\dfrac{7}{184}+\dfrac{7}{345}\)

\(A=\dfrac{2.7}{18}+\dfrac{2.7}{144}+\dfrac{2.7}{368}+\dfrac{2.7}{690}\)

\(A=2.\left(\dfrac{7}{2.9}+\dfrac{7}{9.16}+\dfrac{7}{16.23}+\dfrac{7}{23.30}\right)\)

\(A=2.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{23}+\dfrac{1}{23}-\dfrac{1}{30}\right)\)

\(A=2.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{30}\right)\)

\(A=2.\left(\dfrac{15}{30}-\dfrac{1}{30}\right)\)

\(A=\dfrac{14}{15}\)

Gọi \(ƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=d\)   \((d\in \mathbb{N^*})\)

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}2n+3 ⋮ d\\4n+8 ⋮ d\end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\left(2n+3\right) ⋮ d\\4n+8 ⋮ d\end{matrix}\right. \Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+6 ⋮ d\\4n+8 ⋮ d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(4n+8\right)-\left(4n+6\right) ⋮ d\)

\(\Rightarrow4n+8-4n-6⋮d\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\inƯ\left(2\right)\Rightarrow d\in\left\{1;2;-1;-2\right\}\)

Mà \(d\in\mathbb{N^*}\Rightarrow d\in\{1;2\}\) (1)

Lại có: \(\begin{cases} 2n+3 \text{ lẻ với mọi } n\\ 2n+3\vdots d \end{cases}\Rightarrow d \text{ lẻ }\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow d=1\RightarrowƯCLN\left(2n+3;4n+8\right)=1\)

\(\Rightarrow\dfrac{2n+3}{4n+8}\) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n

Gọi \(d=ƯC\left(2n+3;4n+8\right)\) với d nguyên dương

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4n+8-2.\left(2n+3\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\) (1)

Lại có \(2n+3⋮d\) mà \(2n+3\) luôn lẻ

\(\Rightarrow d\) lẻ (2)

Từ (1),(2) \(\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2n+3\) và \(4n+8\) nguyên tố cùng nhau với mọi n tự nhiên

\(\Rightarrow\dfrac{2n+3}{4n+8}\) là phân số tối giản với mọi số tư nhiên n

Số cây sẽ là:
$\frac{6000}{24} + 1 = 250 + 1 = 251$
Số cây không phải trồng lại sẽ là:
$\frac{6000}{15} + 1 = 400 + 1 = 401$
Đáp số: 401 cây.

Lời giải:
Ngày thứ hai đào được số phần tổng quãng đường là:

$(1-\frac{3}{8})\times \frac{2}{5}=\frac{1}{4}$

60 m đường ngày thứ ba ứng với số phần tổng quãng đường là:
$1-\frac{3}{8}-\frac{1}{4}=\frac{3}{8}$

Quãng đường đội thi công dài:
$60: \frac{3}{8}=160$ (m)