Hoành độ giao điểm (P) ; (d) tm pt 

\(\frac{1}{2}x^2-x-\frac{1}{2}m^2-m-1=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-m^2-2m-2=0\)

\(\Delta'=1-\left(-m^2-2m-2\right)=m^2+2m+3=\left(m+1\right)^2+2>0\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm pb 

Theo Vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-m^2-2m-2\end{cases}}\)

Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)=68\)

\(\Leftrightarrow8-6\left(-m^2-2m-2\right)=68\)

\(\Leftrightarrow6m^2+12m-48=0\Leftrightarrow m=2;m=-4\)

Xét Pt hoành độ.......

\(\dfrac{1}{2}x^2=x+\dfrac{1}{2}m^2+m+1\\ \Leftrightarrow x^2-2x-m^2-2m-2=0\left(1\right)\)

Để ... thì Δ'>0

1+m²+2m+2>0 ⇔(m+1)²+2>0 (Hiển nhiên)

Với mọi m thì (1) sẽ có 2 nghiệm x₁; x_2.

_{*) Theo Hệ thức Viet ta có:} 

S=x₁+x₂=2 và P=x₁x₂= -m²-2m-2

*)Ta có: 

\(\text{x^3_1 ​ +x ^3_2 ​ =68\Leftrightarrow(x_1+x_2)(x_1}^2-x_1x_2+x_2^2\left(\right)=68\\ \)

⇔(x₁+x₂)[(x₁+x₂)²-2x₁x₂-x₁x₂ ]=68 ⇔2[2²-3(-m²-2m-2)]=68

⇔3m²+6m-24=0⇔m=2 và m=-4 

KL: 

Để hai đường thẳng song song mà không trùng nhau thì điều kiện cần và đủ là : 

\(\hept{\begin{cases}m=1\\3m+2\ne1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=1\\m\ne-\frac{1}{3}\end{cases}\Leftrightarrow}m=1}\)

Với x >= 0 ; x khác 1 

\(P=\left(\frac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+1}{x-1}\right)=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}:\frac{1}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-1}{\sqrt{x}}=\frac{x\sqrt{x}-\sqrt{x}}{x}\)

ĐKXĐ: \(x>0;x\ne1\)

\(P=\left(\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)\)

\(=\left(\dfrac{x-1}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\left(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\)

b.

\(P>0\Leftrightarrow\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}>0\)

\(\Rightarrow x-1>0\Rightarrow x>1\)

\(A=\frac{x}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-2x}{x-\sqrt{x}}\)

\(=\frac{x}{\sqrt{x}-1}+\frac{1-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\sqrt{x}-1}=\sqrt{x}-1\)

bn làm tắt à

Gọi thời gian để 2 vòi chảy đầy bể lần lượt là a ; b ( a ; b > 0 ) 

Theo bài ra ta có hệ \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{4}\\a=b+6\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+6}+\frac{1}{b}=\frac{1}{4}\\a=b+6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=6\\a=12\end{cases}}\left(tm\right)\) Vậy ...

\(\Delta=m^2-4\left(-m-1\right)=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\ge0\)

Để pt có 2 nghiệm pb khi m khác -2 

Theo Vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m\left(1\right)\\x_1x_2=-m-1\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có \(2x_1-5x_2=-2\left(3\right)\)

Từ (1) ; (3) ta có \(\hept{\begin{cases}2x_1+2x_2=2m\\2x_1-5x_2=-2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}7x_2=2m+2\\x_1=m-x_2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_2=\frac{2m+2}{7}\\x_1=\frac{5m-2}{7}\end{cases}}\)

Thay vào (2) ta được \(\frac{\left(2m+2\right)\left(5m-2\right)}{49}=-m-1\)

\(\Leftrightarrow10m^2+6m-4=-49m-49\)

\(\Leftrightarrow10m^2+55m+45=0\Leftrightarrow m=-1;m=-\frac{9}{2}\)(tm) 

Xét pt đã cho có \(\Delta=m^2-4.1.\left(-m-1\right)=m^2+4m+4=\left(m+2\right)^2\ge0\)với mọi \(m\inℝ\)

Vậy pt đã cho luôn có 2 nghiệm với mọi \(m\inℝ\)

Theo định lí Vi-ét, ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{-m}{1}=m\\x_1x_2=\frac{-m-1}{1}=-m-1\end{cases}}\)

Lại có \(\left|x_1-x_2\right|\ge3\)\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)^2\ge9\)(vì cả 2 vế của BĐT đầu đều lớn hơn 0)

 \(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\ge9\)\(\Leftrightarrow m^2-4\left(-m-1\right)\ge9\)\(\Leftrightarrow m^2+4m+4\ge9\)\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2\ge9\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m+2\ge3\\m+2\le-3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m\ge1\\m\le-5\end{cases}}\)

Vậy các giá trị của m để pt có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn \(\left|x_1-x_2\right|\ge3\)là \(\orbr{\begin{cases}m\ge1\\m\le-5\end{cases}}\)