easy mà !

2x + 6x^2=3x+9x^2

=> 6x^2 - 9x^2 =  3x-2x

=> -3x^2 = x

=> x = 1 hoặc x =0

Chúc bạn hok tốt !!!

Ta có:

P= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15

=((x+1)(x+7))((x+3)(x+5))+15

=(x^2+8x+7)(x^2+8x+15)+15

Đặt t=x^2+8x+11, ta có:

P=(t-4)(t+4)+15

P=t^2-16+15

P=t^2-1=(t-1)(t+1)

Vậy: P=(x^2+8x+10)(x^2+8x+12)

          =(x^2+8x+10)(x+6)(x+2)

\(f\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x\right)\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)\)

=> \(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left[\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\left(x-1\right)\left(ax-a+b\right)\right]=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x

\(\Leftrightarrow ax^2+2ax+bx+2b-ax^2+ax-bx+ax-a+b=2x+1\)mọi x

\(\Leftrightarrow4ax+3b-a=2x+1\)

Cân bằng hệ số :

\(\hept{\begin{cases}4a=2\\3b-a=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

a) Ta có $$\begin{aligned} f(x)-f(x-1) & =x(x+1)(x+2)(ax+b)-(x-1)x(x+1)(ax+b) \\ & = 4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x \end{aligned}$$
Và $x(x+1)(2x+1)=2x^3+3x^2+x$
Vậy $$4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x = 2x^3+3x^2+x \iff \begin{cases} 4a=2 \\ 3(a+b)=3 \\ 3b-a=1 \end{cases} \implies a=b= \dfrac{1}{2}$$

b) Ta có
$$\begin{array}{l}1.2.3= f(1)-f(0) \\ 2.3.5=f(2)-f(1) \\ 3.4.7= f(3)-f(2) \\ ... \\ n(n+1)(2n+1)=f(n)-f(n-1) \end{array}$$
$$\implies S=1.2.3+2.3.5+.....+n(n+1)(2n+1)= f(n-1)-f(0)= \boxed{\dfrac{(n-1)n(n+1)^2}{2}}$$

\(\left(a+b+c+d\right)^2=\left(\left(a+b\right)+\left(c+d\right)\right)^2\)

\(=\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)\left(c+d\right)+\left(c+d\right)^2\)

\(=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2cd+2ac+2ad+2bc+2bd\)

Câu dưới em làm tương tự

B)(A+B-C-D)²= (A+B)² -2 (A+B).(C-D) +(C-D)²

= A² +B² +C² +D² + 2AB-2CD- 2AC +2AD - 2BC +2BD

cÁC BẠN NHỚ K ĐÚNG CHO MÌNH RỒI MÌNH K LẠI CHO.nHỚ MỖI BẠN 3K

Bài 1:

a) \(M=x^2+x+1\)

\(=x^2+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+1\)

\(=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0;\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge0+\frac{3}{4};\forall x\)

Hay \(M\ge\frac{3}{4};\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+\frac{1}{2}=0\)

                         \(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

Vậy \(MIN\)\(M=\frac{3}{4}\)\(\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}\)

b) \(N=3-2x-x^2\)

\(=-x^2-2x+3\)

\(=-\left(x^2+2x+1\right)+4\)

\(=-\left(x+1\right)^2+4\)

Vì \(-\left(x+1\right)^2\le0;\forall x\)

\(\Rightarrow-\left(x+1\right)^2+4\le0+4;\forall x\)

Hay \(N\le4;\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x+1=0\)

                        \(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy MAX \(N=4\)\(\Leftrightarrow x=-1\)

Bài 2:

Vì a chia 3 dư 1 nên a có dạng \(3k+1\left(k\in N\right)\)

Vì b chia 3 dư 2 nên b có dạng \(3t+2\left(t\in N\right)\)

Ta có: \(ab=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)\)

\(=\left(3k+1\right).3t+\left(3k+1\right).2\)

\(=9kt+3t+6k+2\)

\(=3.\left(3kt+t+2k\right)+2\)chia 3 dư 2 .

\(\)

1a) Ta có: M = x² + x + 1 = (x² + x + 1/4)  + 3/4 = (x + 1/2)²  + 3/4

Ta luôn có: (x + 1/2)² \(\ge\)0 \(\forall\)x

=> (x + 1/2)² + 3/4 \(\ge\)3/4 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra khi : x + 1/2 = 0 <=> x = -1/2

Vậy M_min = 3/4 tại x = -1/2

b) Ta có: N = 3 - 2x - x² = -(x² + 2x + 1) + 4 = -(x + 1)² + 4

Ta luôn có: -(x + 1)² \(\le\)0 \(\forall\)x

=> -(x + 1)² + 4 \(\le\)4 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra khi : x + 1 = 0 <=> x = -1

Vậy N_max = 4 tại x = -1

Lời giải :

\(x^3-ax^2+bx-c=\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3-ax^2+bx-c=x^3-x^2c-x^2b-x^2a+xbc+xac+xab-abc\)

\(\Leftrightarrow x^3-ax^2+bx-c=x^3-x^2\left(a+b+c\right)+x\left(ab+bc+ac\right)-abc\)

Đồng nhất hệ số ta được :

\(\hept{\begin{cases}a+b+c=a\\ab+bc+ac=b\\ab=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b+c=0\left(1\right)\\bc+ac+1=b\left(2\right)\\ab=1\left(3\right)\end{cases}}\)

Theo \(\left(1\right)\Leftrightarrow b=-c\)

Khi đó : \(\left(3\right)\Leftrightarrow-ac=1\Leftrightarrow ac=-1\)

Khi đó : \(\left(2\right)\Leftrightarrow bc-1+1=b\)

\(\Leftrightarrow bc=b\)

\(\Leftrightarrow c=1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{-1}=-1\\b=0-1=-1\end{cases}}\)

Vậy \(a=b=-1;c=1\)

Lời giải :

\(\left(3-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\frac{1}{4}\cdot\left(3+1\right)\left(3-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\frac{1}{4}\cdot\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(3^8-1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(3^{16}-1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left(3^{32}-1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\frac{3^{64}-1}{4}\)

Thank you anh

A B C M N P D O I S

Ta thấy M,P lần lượt là trung điểm của AB,BC => MP là đường trung bình trong  \(\Delta\)ABC

=> MP // AC hay MP // AD. Xét \(\Delta\)BAD có: M là trung điểm AB, MP // AD => MP đi qua trung điểm BD

Gọi MP cắt BD tại S. Khi đó S là trung điểm BD. Ta sẽ chứng minh AI đi qua S, thật vậy:

Áp dụng hệ quả ĐL Thales có: \(\frac{ON}{AM}=\frac{OP}{BM}\left(=\frac{CO}{CM}\right)\)=> ON = OP (Vì AM = BM)

Áp dụng ĐL Melelaus cho \(\Delta\)PCN và 3 điểm A,O,I có \(\frac{IP}{IC}.\frac{ON}{OP}.\frac{AC}{AN}=1\)

Thay \(\frac{ON}{OP}=1,\frac{AC}{AN}=2\), ta được \(\frac{IP}{IC}=\frac{1}{2}\). Do đó \(\frac{IC}{IB}=\frac{1}{2}\)(Vì PC=1/2BC)

Áp dụng ĐL Melelaus cho \(\Delta\)ABC và 3 điểm M,I,D có \(\frac{MA}{MB}.\frac{IC}{IB}.\frac{DA}{DC}=1\)

Thay \(\frac{MA}{MB}=1,\frac{IC}{IB}=\frac{1}{2}\)(cmt), ta được \(\frac{DA}{DC}=2\)=> C là trung điểm AD 

Xét \(\Delta\)BAD: Các trung tuyến DM, BC cắt nhau tại I => I là trọng tâm của \(\Delta\)BAD

Ta có S là trung điểm BD nên AI đi qua S. Như vậy AI,BD,MP đồng quy tại trung điểm BD (đpcm).

Gọi S là giao điểm của MP và BD

Vì P là giao điểm của MS và BC

=> Tứ giác BMCS là hình bình hành

=> \(MC//BD\)

Mà M là trung điểm của AB

=> C là trung điểm của AD

CMTT S là trung điểm của BD

=> BC; DM lần lượt là trung tuyến của tam giác ABD

Mà BC giao DM tại I

=> I là trọng tâm của tam giác ABD

Mà S là trung điểm của BD

=> A;I;S thẳng hàng

=> AI;BD;MP đồng quy tại S

Vậy AI;BD;MP đồng quy tại S

A B C D E

Trên đường thẳng AB lấy điểm E sao cho AE=AD

Xét tam giác AEC và tam giác ADC có: 

AD=AE

^DAC=^EAC ( AC là phân giác ^BAD)

AC chung

=> Tam giác AEC = tam gác ADC

=>^ADC=^AEC (1)

và EC=CD

mà DC=BC

=> EC=BC

=> Tam giác EBC cân tại C

=> ^CEB=^CBE (2) 

Mà ^AEC+^CEB =180^o (3)

Từ (1), (2) , (3) => góc ADC + góc CBE =180^o

Chị ơi, mình không cminh đc \(\widehat{B}=\widehat{D}\)ạ?

\(\left(x-a\right)\left(x-b\right)\left(x-c\right)=\left(x^2-ax-bx+ab\right)\left(x-c\right)\)

\(=x^3-ax^2-bx^2+abx-cx^2+acx+bcx-abc\)

\(=x^3-x^2\left(a+b+c\right)+x\left(ab+ac+bc\right)-abc\)

Nhưn vậy: \(x^3-ax^2+bx-c=x^3-x^2\left(a+b+c\right)+x\left(ab+bc+ac\right)-abc\)

Cân bằng hệ số hai vế ta có: 

\(\hept{\begin{cases}a=a+b+c\left(1\right)\\b=ab+bc+ac\left(2\right)\\c=abc\left(3\right)\end{cases}}\)

(3) <=> abc-c=0 <=> c(ab-1)=0

+) TH1 c=0

\(\hept{\begin{cases}b=0\\b=ab\end{cases}}\)

Như vậy với trường hợp này: b=c=0 , với mọi a 

TH2: ab-1 =0 <=> ab=1 => a, b khác 0 => c khác 0

\(\hept{\begin{cases}b+c=0\\b=1+bc+ac\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=-c\\-c=1-c^2-ab\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}b=-c\\c^2-c=0\end{cases}}\Leftrightarrow c=1,b=-1,a=-1\)

Do đó trường hợp này a=-1, b=-1, c=1

Kết luận;...