Bài 4:

a: Xét ΔMAC và ΔMDB có

MA=MD

\(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}\)(hai góc đối đỉnh)

MC=MB

Do đó: ΔMAC=ΔMDB

=>AC=BD

b: Ta có: ΔMAC=ΔMDB

=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MDB}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AC//BD

Ta có: AC//BD

AC\(\perp\)AB

Do đó: BD\(\perp\)BA

=>\(\widehat{ABD}=90^0\)

Bài 3:

Vì O là giao điểm của ba đường trung tuyến của ΔABC

nên O là trọng tâm của ΔABC

Gọi D là trung điểm của AC

Xét ΔABC có

O là trọng tâm

D là trung điểm của AC

Do đó: \(BO=\dfrac{2}{3}BD\)

=>BO=2OD

mà BO=OE

nên OE=2OD

=>D là trung điểm của OE

Xét ΔDAO và ΔDCE có

DA=DC

\(\widehat{ADO}=\widehat{CDE}\)(hai góc đối đỉnh)

DO=DE

Do đó: ΔDAO=ΔDCE

=>AO=CE

a; B = - 2\(x^2\) + 7\(x\) - 4

 2B = - 4\(x^2\) + 14\(x\) - 8

C = A + 2B 

 C = 3\(x^2\) - 2\(x\) - 5 + (- 4\(x^2\) + 14\(x\) - 8)

  C = 3\(x^2\) - 2\(x\) - 5 - 4\(x^2\) + 14\(x\) - 8

   C = (3\(x^2\) - 4\(x^2\))  + (14\(x\) - 2\(x\)) - (5 + 8)

   C = - \(x^2\) + 12\(x\) - 13

b;    A = 3\(x^2\) - 2\(x\) - 5 

      3A = 9\(x^2\) - 6\(x\) - 15

      D = 3A - 2B 

       D = 9\(x^2\) - 6\(x\) - 15 - (-4\(x^2\) + 14\(x\) - 8)

      D = 9\(x^2\) - 6\(x\) - 15 + 4\(x^2\) - 14\(x\) + 8

      D = (9\(x^2\) + 4\(x^2\)) - (6\(x\) + 14\(x\)) - (15 - 8)

       D = 13\(x^2\) - 20\(x\) - 7

a) 7x³ - 5x + 2 - 4.(3x² - 2x - 4)

= 7x³ - 5x + 2 - 12x² + 8x + 16

= 7x³ - 12x² + (-5x + 8x) + (2 + 16)

= 7x³ - 12x² + 3x + 18

b) 5x.(-2x² - x + 1/15)

= -10x³ - 5x² + x/3

c) (3x + 2)(2x - 5)

= 6x² - 15x + 4x - 10

= 6x² + (-15x + 4x) - 10

= 6x² - 11x - 10

Câu 1:

a. Xét tam giác AED và ACB có:

AE = AC (gt)

Góc EAD = Góc CAB (2 góc đối)

AD = AB (gt)

=> hai tam giác bằng nhau (cgc)

b. CMtt tam giác EAB = tam giác CAD

=> Góc EBD = góc CDB (2 góc tương ứng)

Vị trí so le trong

=> EB // CD

Bài 1: Xét \(\Delta\) AED và \(\Delta\)ABC có: \(\left\{{}\begin{matrix}AE=AC\left(gt\right)\\AD=AB\left(gt\right)\\\widehat{EAD}=\widehat{BACđối}đỉnh\end{matrix}\right.\)

   ⇒ \(\Delta\) AED = \(\Delta\) ACB (c-g-c)

    b; Tứ giác BCDE là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. ⇒  EB // DC (đpcm)

Một thanh niên nhìn thấy người thầy thời tiểu học của mình tại một đám cưới. Anh ta đến chào người thầy với tất cả sự kính ngưỡng: Thầy có nhớ em không ạ? Thầy giáo nói: Thầy không nhớ lắm, hãy nói về em xem nào. Người học trò nói: Em đã học lớp 3 của thầy hồi đó, em đã ăn cắp chiếc đồng hồ của một bạn trong lớp. Em chắc là thầy nhớ chuyện đó mà. Một bạn trong lớp có một chiếc đồng hồ rất đẹp, vì vậy em quyết ăn trộm nó. Bạn ấy khóc và mách với thầy có người cắp đồng hồ của bạn. Thầy bảo cả lớp đứng cho thầy soát túi. Em nhận ra rằng hành động của mình sẽ bị phơi bày ra trước mặt tất cả các học sinh và giáo viên. Em sẽ bị gọi là thằng ăn cắp, một kẻ nói dối và hạnh kiểm của em sẽ bị hoen ố mãi mãi.

Thầy đã bắt chúng em đứng quay mặt vào tường và nhắm mắt lại. Thầy đã soát từng chiếc túi, và khi lấy chiếc đồng hồ từ túi của em, thầy tiếp tục soát đến túi của bạn cuối cùng. Xong xuôi, thầy kêu chúng em mở mắt ra và thầy ngồi xuống ghế. Em sợ thầy sẽ nêu tên em ra trước các bạn.

Thầy giơ cái đồng hồ cho cả lớp thấy và đưa trả lại cho bạn ấy. Thầy không bao giờ nói tên người ăn cắp chiếc đồng hồ. Thầy không nói với em một lời và không bao giờ đề cập chuyện đó với bất cứ ai. Suốt những năm tiểu học, không một giáo viên hay học sinh nào nói với em về chuyện ăn cắp đồng hồ. Em nghĩ rằng thầy đã cứu vớt cho nhân phẩm của em ngày đó. Thầy không nhớ em sao? Sao thầy lại không nhớ em được, thưa thầy? Em chắc là thầy phải nhớ câu chuyện em đã ăn cắp cái đồng hồ và thầy không muốn làm em xấu hổ. Đó là một câu chuyện không thể nào quên…

Người thầy đáp: Thầy không thể nào nhớ được ai đã lấy cắp cái đồng hồ ngày đó, bởi vì khi thầy soát túi tất cả các em, thầy cũng nhắm mắt mà (Nhị Tường dịch).

Câu này có nghĩa là Cho dù con có gặp bất cứ điều gì thì luôn có cha bên cạnh, luôn có cha chở che, bao bọc và cha cũng chính là động lực giúp con đứng dậy sau mỗi lần vấp ngã. 

                        Giải:

Gọi số học sinh của mỗi nhóm lần lượt là: \(x;y;z\) (học sinh); \(x;y;z\)\(\in\)N*

Theo bài ra ta có:

     4\(x\)  = 6y = 12z và \(x+y+z\) = 42 

    4\(x\) = 6y ⇒ \(x\) = \(\dfrac{6}{4}\)y= \(\dfrac{3}{2}y\); 6y = 12z ⇒ z = \(\dfrac{6y}{12}\) = \(\dfrac{1}{2}\) y 

Thay \(x=\)\(\dfrac{3}{2}y\);   z = \(\dfrac{1}{2}y\) vào biểu thức:   \(x+y+z\) = 42 ta có:

      \(\dfrac{3}{2}y+y+\dfrac{1}{2}y=42\)

      y.(\(\dfrac{3}{2}+1+\dfrac{1}{2}\)) =  42

      y.3 = 42

      y    = 42 : 3

      y = 14 (1)

thay y = 1 vào biểu thức: \(x\) = \(\dfrac{3}{2}y\) ⇒ \(x\) = 14.\(\dfrac{3}{2}=21\) (2)

Thay y = 14 vào biểu thức z = \(\dfrac{1}{2}y=\) 14.\(\dfrac{1}{2}\) = 7  (3)

Từ (1); (2); (3) ta có: \(\left(x;y;z\right)\) = (21; 14; 7)

Kết luận số học sinh tổ 1;tổ 2; tổ 3 lần lượt là: 21học sinh; 14 học sinh; 7 học sinh. 

Gọi a (học sinh), b (học sinh), c (học sinh) lần lượt là số học sinh của nhóm I, nhóm II, nhóm III (a, b, c ∈ ℕ*)

Do năng suất trồng cây của mỗi học sinh là như nhau và cùng trồng một số cây như nhau nên số học sinh và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch

⇒ 4a = 6b = 12c

⇒ a/3 = b/2 = c/1

Do tổng số học sinh là 42 nên a + b + c = 42

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

a/3 = b/2 = c/1 = (a + b + c)/(3 + 2 + 1) = 42/6 = 7

a/3 = 7 ⇒ a = 7.3 = 21 (nhận)

b/2 = 7 ⇒ b = 7.2 = 14 (nhận)

c/1 = 7 ⇒ c = 7.1 = 7 (nhận)

Vậy số học sinh của nhóm I, nhóm II, nhóm III lần lượt là: 21 học sinh, 14 học sinh, 7 học sinh

Vì \(2040⋮24\) nên ta chỉ cần chứng minh \(n^2-1⋮24\)

Do \(n\) là SNT > 3 nên \(n\) có dạng \(6k+1\) hoặc \(6k+5\)

TH1: \(n=6k+1\) thì \(n^2-1\) 

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(6k+1-1\right)\left(6k+1+1\right)\)

\(=6k\left(6k+2\right)\) 

\(=12k\left(3k+1\right)=A\)

Nếu k chẵn thì hiển nhiên \(A⋮24\). Nếu k lẻ thì \(3k+1⋮2\) \(\Rightarrow A⋮24\)

TH2: \(n=6k+5\)

\(\Rightarrow n^2-1=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=\left(6k+5-1\right)\left(6k+5+1\right)\)

\(=\left(6k+4\right)\left(6k+6\right)\)

\(=12\left(3k+2\right)\left(k+1\right)=B\)

Xét k lẻ thì \(k+1\) chẵn \(\Rightarrow B⋮24\)

k chẵn thì \(3k+2\) chẵn \(\Rightarrow B⋮24\)

Vậy \(n^2-1⋮24\) \(\Rightarrow n^2-1-2040⋮24\) \(\Rightarrow n^2-2041⋮24\) (đpcm)

\(\left(2x+1\right)\left(x-1\right)-\left(2x^2-x\right)=4\)

=>\(2x^2-2x+x-1-2x^2+x=4\)

=>-1=4(vô lý)

(2\(x\) + 1)(\(x\) - 1) - (2\(x^2\) - \(x\)) = 4

2\(x^2\) - 2\(x\) + \(x\) - 1 - 2\(x^2\) + \(x\) = 4

(2\(x^2\) - 2\(x^2\)) + (-2\(x\) + \(x\) + \(x\)) - 1 = 4

      0 + 0 - 1  = 4

               - 1 = 4 (vô lí)

Không có giá trị nào của \(x\) thỏa mãn đề bài

Vậy \(x\in\) \(\varnothing\)

Lời giải:

$x^3+x^2+x+1=2^y$

$\Rightarrow x^2(x+1)+(x+1)=2^y$

$\Rightarrow (x+1)(x^2+1)=2^y$

$\Rightarrow x+1=2^m; x^2+1=2^n$ với $m,n$ là số tự nhiên, $m+n=y$

$\Rightarrow (2^m-1)^2+1=2^n$

$\Rightarrow 2^{2m}-2^{m+1}+2=2^n$

Nếu $m,n$ đều $\geq 2$ thì hiển nhiên $2=2^n+2^{m+1}-2^{2m}\vdots 4$ (vô lý) 

$\Rightarrow$ tồn tại ít nhất 1 trong 2 số nhỏ hơn 2.

Giả sử $n<2$. Khi đó $n=0$ hoặc $n=1$.

+ Nếu $n=0$ thì $x=0\Rightarrow m=0\Rightarrow y=m+n=0$ (tm)

+ Nếu $n=1$ thì $x=1\Rightarrow m=1\Rightarrow y=m+n=2$ (tm)