Rút gọn
\(\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
PT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 3 2023
Ta có \(\widehat{EDF}=\widehat{ECF}\) (chắn hai cung bằng nhau AI và BI của đường tròn (O))
\(\Rightarrow\) Tứ giác CDEF nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{DEF}+\widehat{DCF}=180^0\)
Mà \(\widehat{DCF}+\widehat{DAB}=180^0\) (tứ giác ABCD nội tiếp)
\(\Rightarrow\widehat{DEF}=\widehat{DAB}\)
\(\Rightarrow EF||AB\) (hai góc đồng vị bằng nhau)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 3 2023
Ta có:
\(x^2+3y^2=x^2+y^2+2y^2\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2\right).2y^2}=2y\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)
\(\Rightarrow P=\sum\dfrac{xy}{x^2+3y^2}\le\sum\dfrac{x}{2\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\sum\sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+y^2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\sum\sqrt{\dfrac{a}{a+b}}\)
\(P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\sum\sqrt{a+c}.\sqrt{\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
\(\Rightarrow P^2\le\dfrac{1}{8}\left(\sum\sqrt{a+c}.\sqrt{\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\right)^2\le\dfrac{1}{8}\left(2a+2b+2c\right)\left(\dfrac{a}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{c}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Lại có \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\dfrac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\dfrac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{9}{16}\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)
TT
5
\(\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\left(\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}\right):\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}.\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1\)