`Answer:`

a) \(VT=\)\(\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2\)

\(=a^2c^2+2acbd+b^2d^2+a^2d^2-2adbc+b^2c^2\)

\(=a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\)

\(=\left(a^2c^2+a^2d^2\right)+\left(b^2d^2+b^2c^2\right)\)

\(=a^2.\left(c^2+d^2\right)+b^2.\left(c^2+d^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2\right).\left(c^2+d^2\right)\)

\(=VP\)

b) \(\left(ac+bd\right)^2\le\left(a^2+b^2\right).\left(c^2+d^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+2acbd\le\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2acbd\le\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2-2abdc\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2\ge0\) (Luôn đúng)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=12\\x_1x_2=4\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=12^2-2.4=136\)

\(\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=12+2\sqrt{4}=16\Rightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=4\)

\(\Rightarrow T=\dfrac{136}{4}=34\)

pt đã cho có \(\Delta'=\left(-6\right)^2-1.4=32>0\)

\(\Rightarrow\)pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt 

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=12\\x_1x_2=4\end{cases}}\)

Ta có \(x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=12^2-2.4=136\)

Mặt khác \(\left(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}\right)^2=x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}=12+2\sqrt{4}=16\)\(\Rightarrow\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=4\)

\(\Rightarrow T=\frac{136}{4}=34\)

Đề bị thiếu dữ kiện kìa bạn

Đpcm chỉ có 1 vế kìa.

\(x^3+8-m\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)-m\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x^2-2x-m+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-2\\x^2-2x-m+4=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình đã cho có 3 nghiệm pb khi và chỉ khi  (1) có 2 nghiệm pb khác -2

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(-2\right)^2-2.\left(-2\right)-m+4\ne0\\\Delta'=1-\left(-m+4\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne12\\m>3\end{matrix}\right.\)

pt hoành độ giao điểm của (P) và (d) là \(mx^2=-3x+1\)\(\Leftrightarrow mx^2+3x-1=0\)(*)

pt (*) có \(\Delta=3^2-4.m.\left(-1\right)=4m+9\)

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì \(\Delta=4m+9>0\Leftrightarrow m>-\frac{9}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>-\frac{9}{4}\\m\ne0\end{cases}}\)

Khi đó áp dụng định lí Vi-ét, ta có \(x_1x_2=-\frac{1}{m}\)

A và B nằm cùng phía với trục tung \(\Rightarrow x_1,x_2\)cùng dấu \(\Rightarrow x_1x_2>0\)\(\Rightarrow-\frac{1}{m}>0\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{m}< 0\)\(\Leftrightarrow m< 0\)

Vậy để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(-\frac{9}{4}< m< 0\)