Nhận xét: chỉ cần biến đổi chút là bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều:
P = (1 + 1/x)(1 + 1/y) . (1 - 1/x)(1 - 1/y)
= (1 + 1/x)(1 + 1/y) . (x -1)(y - 1)/(xy)
= (1 + 1/x)(1 + 1/y) . (-x).(-y)/(xy)
= (1 + 1/x)(1 + 1/y)
= 1 + 1/(xy) + (1/x + 1/y) = 1 + 1/(xy) + (x + y)/xy
= 1 + 1/(xy) + 1/(xy) = 1 + 2/(xy)

Ta có:

A=|x−4|+|x−2020|=|x−4|+|2020−x|≥x−4+2020−x=2016

Dấu "=" xảy ra <=> x - 4 ≥0≥0

                          và 2020 - x ≥0≥0

<=> x≥4x≥4 và x≤2020x≤2020

⇔4≤x≤2020⇔4≤x≤2020

Vậy A đạt GTNN là 2016 ⇔4≤x≤2020

Ta có: x - y = 1 => x = 1 + y

Khi đó, ta có:

 (1 + y)² + y² + 2020 = 1 + 2y + y² + y² + 2020 = 2y² + 2y + 2021 = 2(y² + y + 1/4) + 4041/2 = 2(y + 1/2)² + 4041/2

Ta luôn có: (y + 1/2)² \(\ge\)0 \(\forall\)y

=> 2(y + 1/2)² + 4041/2 \(\ge\)4041/2 \(\forall\)y

Dấu "=" xảy ra khi : \(y+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow y=-\frac{1}{2}\)

                                               <=> \(x=-\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\)

Vậy Min của x² + y² + 2020 = 4041/2 tại x = 1/2 và y = -1/2

Ta có A= 5n^3+15n^2+10n=5n^3+5n^2 +10n62+10n

=5n^29 (n+1)+10n (n+1) =(n+1).(5n^2+10n) 

5n (n+1).(n+2)

do n (n=1) (n+2)chia hết cho 6

suy ra Achia hết cho 30(n thuộc z)

gọi thương của phép chia ax3+bx2+c cho x-2 là f(x) ta đc

ax3+bx2+c=(x-2).f(x)

Đẳng thức trên luôn đúng với mọi x

* với x=2 thì 8a+4b+c=0                                               (1)

gọi thương của ax3+bx2+c cho x2-1 là q(x) ta có

ax3+bx2+c=(x-1)(x+1).q(x)+2x+5

đẳng thức trên luôn đúng

* với x=1 thì a+b+c=7                                                   (2)

* với x=-1 thì -a+b+c=3                                                (3)

từ (1) , (2) và (3) ta có

a=2 ,b=7 , c=-2

gọi thương của phép chia ax³+bx²+c cho x-2 là f(x) ta đc

ax³+bx²+c=(x-2).f(x)

Đẳng thức trên luôn đúng với mọi x

* với x=2 thì 8a+4b+c=0                                           (1)

gọi thương của ax³+bx²+c cho x²-1 là q(x) ta có

ax³+bx²+c=(x-1)(x+1).q(x)+2x+5

đẳng thức trên luôn đúng

* với x=1 thì a+b+c=7                                           (2)

* với x=-1 thì -a+b+c=3                                           (3)

từ (1) , (2) và (3) ta có

a=2 ,b=7 , c=-2

Ta thấy \(x^{2002}+x^{2000}+1\) có dạng \(x^{3m+1}+x^{3n+1}+1\)

Ta sẽ đi chứng minh \(x^{3m+1}+x^{3n+1}+1⋮x^2+x+1\)

Thật vậy,ta có:

\(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\)

\(=x^{3m+1}-x+x^{3n+2}-x^2+x^2+x+1\)

\(=x\left(x^{3m}-1\right)-x^2\left(x^{3n}-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)

Mà \(x^{3m}-1⋮x^2+x+1;x^{3n}-1⋮x^2+x+1\) nên \(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1⋮x^2+x+1\)

\(\frac{x^4-1}{x-1}=\frac{B}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{\left(x-1\right)}=\frac{B}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)}{\left(x-1\right)}=\frac{B}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=\frac{B}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\left(x^2+1\right)=B\)

\(\Leftrightarrow B=\left(x^2+2x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow B=x^4+2x^3+x^2+x^2+2x+1\)

\(\Leftrightarrow B=x^4+2x^3+2x^2+2x+1\)

Em không biết đúng hay sai đâu nhé?!

Ta có: \(\frac{x^4-1}{x-1}=\frac{B}{x+1}\)

\(\Leftrightarrow B\left(x-1\right)=\left(x^4-1\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow B\left(x-1\right)=\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow B\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow B\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow B=\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)^2}{x-1}\)

Vậy \(B=\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)^2\)

$3^8{.5}^8-\left({15}^4-1\right)\left({15}^4+1\right)$

$={15}^8-\left({15}^8-1\right)$

$={15}^8-{15}^8+1=1$

$\mathrm{Học\; tốt}$

\(3^8.5^8-\left(15^4-1\right)\left(15^4+1\right)\)

\(=15^8-\left[\left(15^4\right)^2-1^2\right]\)

\(=15^8-\left[15^8-1\right]\)

\(=15^8-15^8+1=1\)

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2ab+2bc+2ca\) 

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\Leftrightarrow a=b=c\)

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)

\(=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\)

Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a-c\right)^2\ge0\\\left(b-c\right)^2\ge0\end{cases}}\Rightarrow\)\(\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\)

Dấu "="\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(a-c\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\)

Vậy a = b = c (đpcm)