Kẻ đường kính AD của (O). Ta thấy ngay \(AD=2R=2.12=24\left(cm\right)\)

Xét (O) có đường kính AD nên \(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ACD}=90^o\)

Lại có \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ACD}\) là các góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACD}\) hay \(\widehat{ABH}=\widehat{ACD}\)

\(\Delta ABH\) và \(\Delta ADC\) có \(\widehat{AHB}=\widehat{ACD}\left(=90^o\right)\) và \(\widehat{ABH}=\widehat{ACD}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta ABH~\Delta ABC\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{AD}=\dfrac{8.15}{24}=5\left(cm\right)\)

Vậy \(AH=5cm\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}n+8=a^2\left(1\right)\\n+1=b^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(a>b;a,b\inℕ^∗\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow n=a^2-8\)

Thay vào (2), ta có \(a^2-8+1=b^2\)\(\Leftrightarrow a^2-b^2=7\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=7\) (4)

Vì \(a,b\inℕ^∗\) nên \(a-b< a+b\) (5)

Từ (4) và (5) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=1\\a+b=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=3\end{matrix}\right.\) (nhận)

\(\Rightarrow n+1=b^2=3^2=9\)\(\Rightarrow n=8\) (nhận)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\m\left(2-my\right)-2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\2m-m^2y-2y=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\-\left(m^2+2\right)y=1-2m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-m\left(\dfrac{2m-1}{m^2+2}\right)\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m^2+4-2m^2+m}{m^2+2}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+4}{m^2+2}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)

Để \(x\ge0\) thì \(\dfrac{m+4}{m^2+2}\ge0\)

Vì \(m^2+2>0\) \(\Rightarrow m+4\ge0\Leftrightarrow m\ge-4\) (1)

Để \(y< 0\) thì \(\dfrac{2m-1}{m^2+2}< 0\Leftrightarrow2m-1< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow-4\le m< \dfrac{1}{2}\)

Vậy để hpt đã cho có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(-4\le m< \dfrac{1}{2}\)

Dễ thấy tứ giác BCEF nội tiếp (vì có 2 đỉnh E, F cùng nhìn đoạn BC dưới 1 góc 90^o không đổi)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\) (góc ngoài tại 1 đỉnh = góc trong ở đỉnh đối) 

hay \(\widehat{AEM}=\widehat{ABC}\) (1)

Xét (O) có \(\widehat{AEM}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn \(\stackrel\frown{AM}\) và \(\stackrel\frown{CN}\) \(\Rightarrow\widehat{AEM}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{CN}}{2}\) (2)

Lại có \(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AC}\) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AC}}{2}\)\(=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AN}+sđ\stackrel\frown{CN}}{2}\) (3)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{CN}}{2}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AN}+sđ\stackrel\frown{CN}}{2}\Rightarrow\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{AN}\)\(\Rightarrow AM=AN\) (đpcm)

Lời giải:
Do có 3 số $a,b,c$ nên kiểu gì cũng tồn tại 2 số nằm cùng phía so với $2$

Giả sử 2 số đó là $a,b$. Khi đó: $(a-2)(b-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow ab+4\geq 2(a+b)$

$\Rightarrow abc+4c\geq 2(ac+bc)$. Khi đó:
$a^2+b^2+c^2+abc+4=a^2+b^2+c^2+abc+4c+4-4c$

$\geq 2ab+c^2+2(ac+bc)+4-4c$ (AM-GM)
$=2(ab+bc+ac)+(c-2)^2\geq 2(ab+bc+ac)$ 

Ta có đpcm.

Tui ko thể thấy câu trả lời

ĐKXĐ \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne-1\\y\ne1\end{matrix}\right.\)

Giả sử \(x>-1\) và \(y>1\), khi đó \(x+1>0\) và \(y-1>0\)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) với \(a,b>0\), ta có:

\(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y-1}\ge\dfrac{4}{x+1+y-1}=\dfrac{4}{x+y}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+1=y-1\Leftrightarrow y=x+2\)

Thay vào pt thứ 2, ta có \(\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{3}{2x-1}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(2x-1\right)-3\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(2x-1\right)}=1\)\(\Leftrightarrow\dfrac{4x-2-3x-3}{2x^2-x+2x-1}=1\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x-5}{2x^2+x-1}=1\)\(\Rightarrow2x^2+x-1=x-5\Leftrightarrow2x^2=-4\) (vô lí)

Do đó ta loại trường hợp \(\left\{{}\begin{matrix}x>-1\\y>1\end{matrix}\right.\), tức cả 2 điều này không thể xảy ra cùng lúc.

Xét trường hợp \(\left\{{}\begin{matrix}x< -1\\y< 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1< 0\\y-1< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\left(x+1\right)>0\\-\left(y-1\right)>0\end{matrix}\right.\)

Từ đó \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y-1}=-\left(\dfrac{1}{-x-1}+\dfrac{1}{1-y}\right)\)

Ta có \(\dfrac{1}{-x-1}+\dfrac{1}{1-y}\ge\dfrac{4}{-x-1+1-y}=-\dfrac{4}{x+y}\)\(\Leftrightarrow-\left(\dfrac{1}{-x-1}+\dfrac{1}{1-y}\right)\le\dfrac{4}{x+y}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y-1}\le\dfrac{4}{x+y}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(-x-1=1-y\Leftrightarrow y=x+2\)

Tương tự như trường hợp trên, ta thay vào pt (2) và loại trường hợp \(\left\{{}\begin{matrix}x< -1\\y< 1\end{matrix}\right.\)

Ta có thể kết luận rằng \(x+1\) và \(y-1\)phải trái dấu

\(\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y-1\right)< 0\Leftrightarrow xy-x+y-1< 0\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=x+1\\b=y-1\end{matrix}\right.\) (điều kiện \(ab< 0\)), hpt đã cho trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{4}{a+b}\\\dfrac{2}{a}-\dfrac{3}{b}=1\end{matrix}\right.\), xét \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{4}{a+b}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=4ab\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow a=b\)\(\Leftrightarrow ab>0\) (trái với \(ab< 0\))

Vậy hpt đã cho vô nghiệm.

?

ĐKXĐ : x \(\ge-1\)

\(x^3+\left(3x^2-4x-4\right)\sqrt{x+1}=0\)

<=> \(x^3+3x^2\sqrt{x+1}-4\left(x+1\right)\sqrt{x+1}=0\)

<=> \(x^3+3x^2\sqrt{x+1}-4\left(\sqrt{x+1}\right)^3=0\)

<=> \(\left(x^3-x^2\sqrt{x+1}\right)+4\left[x^2\sqrt{x+1}-\left(\sqrt{x+1}\right)^3\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-\sqrt{x+1}\right)+4\sqrt{x+1}\left[x^2-\left(\sqrt{x+1}\right)^2\right]=0\)

<=> \(x^2\left(x-\sqrt{x+1}\right)+4\sqrt{x+1}\left(x-\sqrt{x+1}\right)\left(x+\sqrt{x+1}\right)=0\)

<=> \(\left(x-\sqrt{x+1}\right)\left(x^2+4x\sqrt{x+1}+4x+4\right)=0\)

<=> \(\left(x-\sqrt{x+1}\right)\left(x+2\sqrt{x+1}\right)^2=0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{x+1}\left(1\right)\\x=-2\sqrt{x+1}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giải (1) ta có \(x=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2=x+1\\x\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\\x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\\x\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}\)

Giải (2) ta có : \(x=-2\sqrt{x+1}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-4x-4=0\\x\ge-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\pm\sqrt{8}+2\\x\ge-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=\sqrt{8}+2\)

\(x^3+\left(3x^2-4x-4\right)\sqrt{x+1}=0\left(đk:x\ge-1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2\sqrt{x+1}-4\left(x+1\right)\sqrt{x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2\sqrt{x+1}-4\sqrt{x+1}^3=0\left(1\right)\)

\(TH:x=-1\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow-1=0\left(ktm\right)\)

\(TH:x>-1\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\left(\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\right)^3+3\left(\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\right)^2-4=0\)

\(đặt:\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}=a\Rightarrow a^3+3a^2-4=0\Leftrightarrow\left(a+2\right)^2\left(a-1\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\Leftrightarrow\sqrt{x+1}=x\left(2\right)\\a=-2=\dfrac{x}{\sqrt{x+1}}\Leftrightarrow2\sqrt{x+1}=-x\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x^2=x+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\x=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)

\(\left(3\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< x\le0\\4\left(x+1\right)=x^2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< x\le0\\\left[{}\begin{matrix}x=2+2\sqrt{2}\\x=2-2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=2-2\sqrt{2}\)

Gọi số có 2 chữ số ban đầu là \(\overline{ab}\left(a\ne0\right)\)

Ta có \(a+b=9\)

Khi đổi chỗ 2 chữ số ta được số mới là \(\overline{ba}\)

Ta có: \(\overline{ab}-\overline{ba}=27\Rightarrow\left(10a+b\right)-\left(10b+a\right)=27\)

\(\Rightarrow9a-9b=27\Rightarrow a-b=3\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=9\\a-b=3\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=6\\b=3\end{matrix}\right.\)

Vậy số cần tìm là 63.