M A B C D

a/

Ta có A và C cùng nhìn MO dưới 1 góc vuông nên A và C thuộc đường tròn đường kính MO => OAMC là tứ giác nội tiếp)

b/

Ta có

\(\widehat{ADB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow AD\perp MB\)

Xét tg vuông AMO có

\(MA^2=MD.MB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Mà MA=MC (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)

=> \(MC^2=MB.MD\)

c/

Khi tg AMO quay xung quang AM thì tạo thành hình chóp có đáy là đường tròn tâm A bán kính OA=R, trung đoạn là MO=2R

\(S_{xq}=\dfrac{1}{2}\Pi R.MO=\Pi.R^2\)

sô lớn là 24 , số bé là 10 

Ta có \(\dfrac{25}{x^2+y^2}+\dfrac{12,5}{xy}=25\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\)

mà \(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\dfrac{4}{\left(x+y\right)^2}=\dfrac{4}{25}\)

=> \(25\left(\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2xy}\right)\ge25.\dfrac{4}{25}=4\)(đpcm) 

"=" khi x = y = 2,5

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=52\\4x+5y=233\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+4y=208\\4x+5y=233\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-5y=208-233\\4x+5y=233\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-y=25\\4x=233-5y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=25\\4x=233-5.25\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=25\\4x=108\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=25\\x=27\end{matrix}\right.\)

a) Khi \(m=1\) thì pt đã cho trở thành \(x^2-2x-10=0\) (*)

pt (*) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(-10\right)=11>0\) 

Do đó (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{11}}{1}=1+\sqrt{11}\\x_2=\dfrac{-\left(-1\right)-\sqrt{11}}{1}=1-\sqrt{11}\end{matrix}\right.\)

b) Xét pt đã cho \(x^2-mx-10=0\) \(\left(a=1;b=-m;c=-10\right)\)

Nhận thấy \(ac=1\left(-10\right)=-10< 0\) nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{-m}{1}=m\\x_1x_2=\dfrac{-10}{1}=-10\end{matrix}\right.\)

Ta có \(x_1^2+x_2^2=29\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=29\Leftrightarrow m^2-2\left(-10\right)=29\)\(\Leftrightarrow m^2+20=29\Leftrightarrow m^2=9\Leftrightarrow m=\pm3\)

Vậy để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn đề bài thì \(m=\pm3\)

Kẻ đường kính AD của (O). Ta thấy ngay \(AD=2R=2.12=24\left(cm\right)\)

Xét (O) có đường kính AD nên \(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ACD}=90^o\)

Lại có \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ACD}\) là các góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACD}\) hay \(\widehat{ABH}=\widehat{ACD}\)

\(\Delta ABH\) và \(\Delta ADC\) có \(\widehat{AHB}=\widehat{ACD}\left(=90^o\right)\) và \(\widehat{ABH}=\widehat{ACD}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta ABH~\Delta ABC\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{AD}=\dfrac{8.15}{24}=5\left(cm\right)\)

Vậy \(AH=5cm\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}n+8=a^2\left(1\right)\\n+1=b^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(a>b;a,b\inℕ^∗\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow n=a^2-8\)

Thay vào (2), ta có \(a^2-8+1=b^2\)\(\Leftrightarrow a^2-b^2=7\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=7\) (4)

Vì \(a,b\inℕ^∗\) nên \(a-b< a+b\) (5)

Từ (4) và (5) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=1\\a+b=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=3\end{matrix}\right.\) (nhận)

\(\Rightarrow n+1=b^2=3^2=9\)\(\Rightarrow n=8\) (nhận)