\(A=\left(b+c\right)^2+b^2+c^2=2b^2+2c^2+2bc=2\left(b^2+bc+c^2\right)\) (tự hiểu nhé)

Mà \(a^2=2\left(a+c+1\right)\left(a+b-1\right)=2a^2+2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(b-c\right)-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a\left(b+c\right)+2bc-2=0\) (*)

\(\Leftrightarrow2bc=2-a^2-2a\left(b+c\right)=2-\left(b+c\right)^2+2\left(b+c\right)^2\) (mấy cái này là từ a + b + c =0 suy ra a = -(b+c) suy ra a² = [-(b+c)]² = (b+c)² thôi!)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-2bc=-2\)

hay c² + b² = -2?? hay là mình làm sai nhì?

\(a^2=2\left(a+c+1\right)\left(a+b-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2=\left(b-1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2+\left(c+1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=0,b=1,c=-1\)

\(\Rightarrow A=2\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\left(1\right)\)

Lại có:\(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=-a\\b^2-c^2=-b\\c^2-a^2=-c\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right).\left(a+b\right)=-a\\\left(b-c\right).\left(b+c\right)=-b\\\left(c-a\right).\left(c+a\right)=-c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)=-\frac{a}{a+b}\\\left(b-c\right)=-\frac{b}{b+c}\\\left(c-a\right)=-\frac{c}{a+c}\end{cases}}\)

Từ (1) \(\Rightarrow\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(c-a\right)=-\left(\frac{a}{a+b}\cdot\frac{b}{b+c}\cdot\frac{c}{a+c}\right)=\frac{-abc}{-c.\left(-a\right).\left(-b\right)}=1\)

Bạn xem lại đề nhé :

Phương trình \(b^3-3b^2+5b+11=0\)không có nghiệm dương nhé

\(VT=b\left(b-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{11}{4}b+11>0\forall b>0\)

Dạ đề đúng mà ???

Nhân 2 vế của 2 ĐT đề bài ta có

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)=\frac{47}{10}\)

<=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\left(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{47}{10}\)

=>\(P=\frac{17}{10}\)

Vậy \(P=\frac{17}{10}\)

Giúp mik đi mik  tặng hẳn 3 k

Áp dụng định lý 2 của đường trung bình trong hình thang

\(2\left(2x-5\right)^2-\left(2x-3\right)^2-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=70\) 70

\(2\left[\left(2x\right)^2-2.2x.5+5^2\right]-\left[\left(2x\right)^2-2.2x.3+3^2\right]-\left[\left(2x^2\right)-1^2\right]=70\)

\(8x^2-40x+50-4x^2+12x-9-4x^2+1=70\)

\(-28x+42=70\)

\(-28x=70-42\)

\(-28x=28\)

=> x = -1 

D = -x² + 3x - 1 = -(x² - 3x + 9/4) + 5/4 = -(x - 3/2)² + 5/4

Ta có: -(x - 3/2)² \(\le\)0 \(\forall\)x

=> -(x - 3/2)² + 5/4 \(\le\)5/4 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra <=> x - 3/2 = 0 <=> x = 3/2

Vậy Max của D = 5/4 tại x = 3/2

E = -3x² + 4x + 2 = -3(x² - 4/3x + 4/9) + 10/3 = -3(x - 2/3)² + 10/3

Ta có: -3(x - 2/3)² \(\le\)0 \(\forall\)x

=> -3(x - 2/3)² + 10/3 \(\le\)10/3 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra <=> x - 2/3 = 0 <=> x = 2/3

Vậy Max của E = 10/3 tại x = 2/3

F = 6x - 7x² - 2 = -7(x² - 6/7x + 9/49) + 5/7  = -7(x - 3/7)² + 5/7

Ta có: -7(x - 3/7)² \(\le\)0 \(\forall\)x

=> -7(x - 3/7)² + 5/7 \(\le\)5/7 \(\forall\)x

Dấu "=" xảy ra <=> x - 3/7 = 0 <=> x = 3/7

Vậy Max của F = 5/7 tại x = 3/7

\(A=x^2-6x-4=x^2-6x+9-13=\left(x-3\right)^2-13\ge-13\)

Vậy \(A_{min}=-13\Leftrightarrow x=3\)

\(B=x^2-x+1=x^2-2.\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Vậy \(B_{min}=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}\)

Cần phần đảo với phần giới hạn (nếu có) thôi nha mọi người, em làm được phần thuận rồi.

Thuận: Lấy M là trung điểm BC. Khi đó IM là đường trung bình của \(\Delta\)BHC => IM // HC

Vì HC vuông góc BH nên IM vuông góc BH hay ^BIM = 90⁰ => I thuộc đường tròn (MB)

M là trung điểm đoạn BC cố định => BM cố định => I di chuyển trên (MB) cố định.

Đảo: M là trung điểm BC, đường tròn (BM) cắt BH tại I. Có ngay MI // CH

Xét \(\Delta\)CBH có: M là trung điểm BC, MI // HC, I thuộc BH => I là trung điểm BH.

Giới hạn: Xét A không trùng với B,C. Theo chứng minh phần thuận thì I nằm trên (BM)

Xét A trùng B: Khi đó AC trùng BC. Mà BH vuông góc AC tại H nên H trùng B => I trùng B

Xét A trùng C: Suy ra BH trùng BC. Khi đó trung điểm I của BH trùng với M

Vậy điểm I di động trên cả đường tròn đường kính BM.