đặt a-1=x²;b-1=y²;c-1=z² với x,y,z>0. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

\(x+y+z\le\sqrt{\left(z^2+1\right)\left[\left(y^2+1\right)\left(x^2+1\right)+1\right]}\)

áp dụng bđt Cauchy-Schwarz ta có \(x+y\le\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}\Rightarrow x+y+z\le\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+z}\left(1\right)̸\)

\(\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}+z\le\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+1}\cdot\sqrt{z^2+1}\)(2)

kết hợp (1) và (2) ta có \(x+y+z\le\sqrt{\left(z^2+1\right)\left[\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)+1\right]}\)

vậy \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{c\left(ab+1\right)}\left(đpcm\right)\)

sửa: chứng minh \(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}\ge\frac{3}{2}\)

áp dụng bđt Cauchy ta có

\(\frac{1}{1+ab}=1-\frac{1}{1+ab}\ge1-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=1-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{1+bc}\ge1-\frac{\sqrt{bc}}{2}\\\frac{1}{1+ca}\ge1-\frac{\sqrt{ca}}{2}\end{cases}}\)

cộng theo vế các bđt trên và áp dụng bđt Cauchy ta được

\(\frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ac}\ge3-\frac{1}{2}\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

\(\ge3-\frac{1}{2}\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\right)=3-\frac{a+b+c}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}1+ab=1+bc=1+ca\\a=b=c\\a+b+c=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)

+)\(\frac{3}{4}\ge a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge abc\)

+) \(P=8abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\left(32abc+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)-24abc\)

\(\ge4\sqrt[4]{\frac{32}{abc}}-24abc\ge4\sqrt[4]{\frac{32}{\frac{1}{8}}}-3=16-3=13\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

bạn vào thống kê hỏi đáp xem hình ảnh

Bạn xem lại đề ạ!

Nếu bạn đã chứng minh được D là trung điểm IQ; E là trung điểm KP; E là trung điểm KP; F là trung điểm LJ

Thì dễ dàng suy ra được: \(\overrightarrow{MD}=\frac{\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}}{2}\); \(\overrightarrow{ME}=\frac{\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MP}}{2}\); \(\overrightarrow{MF}=\frac{\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{ML}}{2}\)

( Vì chúng ta có tính chất: Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì mọi điểm M ta có: \(2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\)) 

\(\hept{\begin{cases}x^2-xy+y^2=3\left(x-y\right)^2\\2x+2y=\left(x-y\right)^2\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2+xy=3\left(x-y\right)^2\\2\left(x+y\right)=\left(x-y\right)^2\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}xy=2\left(x-y\right)^2\\2\left(x-y\right)+4y=\left(x-y\right)^2\end{cases}}\)

Đặt \(x-y\Rightarrow t\)thì pt tương đương :

\(\hept{\begin{cases}xy=2t^2\\2t+4y=t^2\end{cases}}\)

Xét pt 2 ta có : \(\Delta=4+16y\ge0< =>y\ge-\frac{1}{4}\) 

\(t_1=\frac{-2-\sqrt{4+16y}}{-2}=1-\frac{\sqrt{4+16y}}{-2}\)

\(< =>\)\(\hept{\begin{cases}x-y=1-\sqrt{4-16y}\\xy=2\left(1-2\sqrt{4-16y}+4-16y\right)\end{cases}}\)(giải cái này thì easy rồi nhỉ )

\(t_2=\frac{-2+\sqrt{4+16y}}{-2}=1+\frac{\sqrt{4+16y}}{-2}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}x-y=1-\sqrt{4-16y}\\xy=2\left(1-2\sqrt{4-16y}+4-16y\right)\end{cases}}\)(tiếp tục giải cái này)

Vậy ta có 2 bộ số sau {...;...}

tối nay bạn có rảnh không ? không phải là mệnh đề

            ~HỌC TỐT

cái thứ 2 ko phải