Ta có số hạng tổng quát

\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< \dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).2.\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\)

\(=\dfrac{2\left(n+1\right)-2\sqrt{\left(n+1\right)n}}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}}-\dfrac{2}{\sqrt{n+1}}\)

Áp dụng vào bài toán

\(VT< \dfrac{2}{\sqrt{1}}-\dfrac{2}{\sqrt{2}}+\dfrac{2}{\sqrt{2}}-\dfrac{2}{\sqrt{3}}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}-\dfrac{2}{\sqrt{4}}+...+\dfrac{2}{\sqrt{n}}-\dfrac{2}{\sqrt{n+1}}=\)

\(=2-\dfrac{2}{\sqrt{n+1}}< 2\)

Xin lỗi

\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< \dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).2.\sqrt{n+1}}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(\sqrt{4}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...+\sqrt{6}}}}< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...+\sqrt{9}}}}\)

\(\Leftrightarrow2< \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...+\sqrt{6}}}}< 3\)

Vậy phần nguyên là 2

Gọi số học sinh dự thi của trường A là : x ( học sinh )   ( x \(\in\) N* ; x < 250 )

=> Số học sinh dự thi trường B là : 250 - x ( học sinh )

+) Số học sinh đậu của trường A là : 80%x (hs)

+) Số học sinh đậu trường B là : 90%(250-x) (hs)

Theo bài ra, ta có :

80%x + 90%(250-x)=210

<=> \(\dfrac{4}{5}x+225-\dfrac{9}{10}x=210\)

<=> \(-\dfrac{1}{10}x=-15\)

<=> x = 150 (TM)

Vậy số hs dự thi trường A là : 150hs ; trường B là : 250 - 150 = 100 (hs)

`(P):y=x^2`     `(d):y=4x+1-m`

Xét ptr hoành độ của `(P)` và `(d)` có:

    `x^2=4x+1-m`

`<=>x^2-4x-1+m=0`

    Mà `m=4`

  `=>x^2-4x-1+4=0`

`<=>x^2-4x+3=0`

`<=>x^2-3x-x+3=0`

`<=>(x-3)(x-1)=0`

`<=>x=3` hoăc `x=1`

Vậy hoành độ giao điểm của `(P)` và `(d)` là: `x=3;x=1`

(P)=x đúng ko vậy

\(A^2=x+2\sqrt{2x-4}+x-2\sqrt{2x-4}+2\sqrt{\left(x+2\sqrt{2x-4}\right)\left(x-2\sqrt{2x-4}\right)}=2x+2\sqrt{x^2-4\left(2x-4\right)}=2x+2\sqrt{x^2-8x+16}=2x+2\sqrt{\left(x-4\right)^2}=2x+2\left|x-4\right|\)

Suy ra A=$\sqrt{2x+2|x-4|}

Lời giải:

\(A\sqrt{2}=\sqrt{2x+4\sqrt{2x-4}}+\sqrt{2x-4\sqrt{2x-4}}\)

\(=\sqrt{(2x-4)+4\sqrt{2x-4}+4}+\sqrt{(2x-4)-4\sqrt{2x-4}+4}\)

\(=\sqrt{(\sqrt{2x-4}+2)^2}+\sqrt{(\sqrt{2x-4}-2)^2}\)

\(=|\sqrt{2x-4}+2|+|\sqrt{2x-4}-2|\)

Nếu $x\geq 4$ thì:

$A=\sqrt{2x-4}+2+\sqrt{2x-4}-2=2\sqrt{2x-4}$

Nếu $2\leq x<4$ thì:

$A=\sqrt{2x-4}+2+2-\sqrt{2x-4}=4$

Lấy 2 phương trình nhân vế theo vế được:

\(x^3y^3=\left(xy+4\right)\left(3xy-4\right)\)

Đặt \(xy=t\) thì được:

\(t^3=\left(t+4\right)\left(3t-4\right)\)

\(\left(t-4\right)\left(t^2+t-4\right)=0\)

Làm nốt