(Vĩnh Phúc - 2020)

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ điểm A kẻhai tiếp tuyến AB và AC đến (O) (B, C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Đường thẳng đi qua (O) vuông góc với đường thẳng AD và cắt AD, BC lần lượt tại K, E. Gọi I à giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh rằng các tứ giác ABOC, AIKE nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh rằng OI.OA = OK.OE.

c) Biết OA = 5cm, đường tròn (O) có bán kính R = 3cm. Tính độ dài đoạn thẳng BE.

Cho x>0 và x≠1, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= $\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}$ bằng $\frac{a}{b}$(với a,b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ (với a,b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ phân số tối giảm). Giá trị a+b bằng

A, 5

B. 9

C. 7

D. 6

(Thái Bình - 2020)

Qua điểm M bên ngoài đường tròn (O ; R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB ( A, B là các tiếp điểm). Vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O (C nằm giữa M và D).

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp và MO $\bot$ AB.

b) Chứng minh MA.AD = MD.AC.

c) Gọi I là trung điểm của dây CD và E là giao điểm của hai đường thẳng AB và OI. Tính độ dài đoạn thẳng OE theo R khi $OI = \dfrac{R}{3}$.

d) Qua tâm O kẻ đường thẳng vuông góc với OM cắt các đường thẳng MA, MB lần lượt tại P và Q. Tìm vị trí của điểm M đề điện tích tam giác MPQ đạt giá trị nhỏ nhất.