\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\le1\Rightarrow\dfrac{2}{y}\le1-\dfrac{1}{x}\Rightarrow y\ge\dfrac{2x}{x-1}=2+\dfrac{2}{x-1}\)

\(x+\dfrac{2}{z}\le3\Rightarrow x< 3;\dfrac{2}{z}\le3-x\Rightarrow z\ge\dfrac{2}{3-x}\Rightarrow y+z\ge2+\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{2}{3-x}\)

Lúc này ta sẽ áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Ta có:

\(6^2\le\left(y+z\right)^2=\left(\sqrt{2}\dfrac{y}{\sqrt{2}}Z\right)^2\le3\left(\dfrac{y^2}{2}+z^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(y^2+2z^2\right)\)

\(\Rightarrow P\ge24\). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y=4,z=2\) 

Vậy giá trị nhỏ nhật của P là 24

Có vẻ bạn bị sai đề bài ở chỗ 4088403 nếu là 4088483 sẽ giải được 

\(A=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3.5}+\dfrac{1}{7.5}+\dfrac{1}{7.9}+...+\dfrac{1}{2021.2023}\)

\(=1-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{2021}-\dfrac{1}{2023}\)

\(=1-\dfrac{1}{2023}\)

\(=\dfrac{2022}{2023}\)

vậy đây là dang gì hả bạn

Ta có \(p=x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\). Ta đi tìm GTNN của \(B=p+\dfrac{1}{p}\).

Do \(B=\dfrac{p}{4}+\dfrac{1}{p}+\dfrac{3p}{4}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{p}{4}.\dfrac{1}{p}}+\dfrac{3.2}{4}\) \(=\dfrac{5}{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\p=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=1\).

Vậy GTNN của B là \(\dfrac{5}{2}\) khi \(x=y=1\)

pt đã cho 

\(\Leftrightarrow2x^2-5x+2-\left(x-2\right)\sqrt{x^2-x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(2x-1-\sqrt{x^2-x+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\2x-1-\sqrt{x^2-x+1}=0\end{matrix}\right.\)

(*) \(2x-1-\sqrt{x^2-x+1}=0\) (đk: \(x\ge\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\))

Ta thấy \(2x-1+\sqrt{x^2-x+1}\ne0\) với mọi \(x\ge\dfrac{2+\sqrt{3}}{4}\), (*) tương đương:

\(\dfrac{\left(2x-1\right)^2-\left(x^2-x+1\right)}{2x-1+\sqrt{x^2-x+1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x\left(x-1\right)}{2x-1+\sqrt{x^2-x+1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(nhận\right)\\\dfrac{3}{2x-1+\sqrt{x^2-x+1}}=0\left(vôlí\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy pt đã cho có tập nghiệm \(S=\left\{1;2\right\}\)

Gọi số xe loại một là: \(x\) (chiếc); (\(x\) \(\in\)N*)

Khi đó số xe loại hai là: 50 - \(x\) (chiếc)

Số tiền mua xe loại một là: \(x\) \(\times\) 2 = 2\(x\) ( triệu đồng)

Số tiền mua xe loại hai là: (50 - \(x\)) \(\times\) 6 = 300 - 6\(x\) (triệu đồng)

Theo bài ra ta có phương trình: 2\(x\) + 300 - 6\(x\) = 160

                                                   300 - 4\(x\) = 160

                                                   4\(x\) = 300 - 160

                                                   4\(x\) = 140

                                                      \(x\) = 140 : 4

                                                     \(x\) = 35

Vậy số xe loại một là 35 chiếc

Số xe loại hai là: 50 - 35 =  15 (chiếc)

Kết luận: Cửa hàng đã nhập 35 chiếc xe loại 1 và 15 chiếc xe loại 2

\(\left(x+y\right)^2+xy^2+2y^3=9y^2+8x\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy+xy^2+2y^3=9y^2+8x\)

\(\Leftrightarrow xy^2+x^2-8y^2-8x+2xy+2y^3=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(y^2+x\right)-8\left(y^2+x\right)+2y\left(y^2+x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2+x\right)\left(x-8+2y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y^2+x=0\\x+2y=8\end{matrix}\right.\)

TH1: \(y^2+x=0\Leftrightarrow x=y=0\), thỏa mãn.

TH2: \(x+2y=8\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;4\right);\left(2;3\right);\left(4;2\right);\left(6;1\right);\left(8;0\right)\right\}\)

Vậy pt đã cho có các cặp nghiệm tự nhiên (x; y) là:

\(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(0;4\right);\left(2;3\right);\left(4;2\right);\left(6;1\right);\left(8;0\right)\right\}\)

\(1)\)

\(a,\left\{{}\begin{matrix}2\left(x+1\right)=2x-y+4\\x+2y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+2-2x+y-4=0\\x+2y=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x+2.2=5\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy hệ pt có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(1;2\right)\)

\(b,x^2-2x-3=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(-2\right)^2-4.\left(-3\right)=4+12=16>0\)

\(\Rightarrow\) Pt có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)

Ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2+4}{2}=3\\x_2=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{2-4}{2}=-1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(S=\left\{3;-1\right\}\)

Bài 2:

Gọi chiều rộng mảnh vườn là: \(x\) (m); \(x\) > 0

Chiều dài mảnh vườn là: \(x\) + 6 (m)

Diện tích mảnh vườn là: (\(x+6\))\(\times\)\(x\)  = \(x^2\)+ 6\(x\) (m²)

Theo bài ra ta có phương trình: \(x^2\) + 6\(x\) = 216

                                                   \(x^2\) + 6\(x\) - 216 = 0

                                                  △' =  3² + 216 = 225 > 0

                                                   \(x\)_{1 = \(\dfrac{-3+\sqrt{225}}{1}\) = 12}

                                                              \(x\)₂ = \(\dfrac{-3-\sqrt{225}}{1}\) = -18 (loại)

Vậy \(x\) = 12 

Chiều rộng của hình chữ nhật là: 12 m

Chiều dài của mảnh vườn là: 12 + 6  = 18(m)

Kết luận: Chiều dài của mảnh vườn là 18 m

                Chiều rộng của mảnh vườn là 12 m

\(Xét:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\) ta thấy rõ ràng : \(\sqrt{x}\ge0\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\) không thể : \(\ge\sqrt{x}+1\)

Do đó : \(0< \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}< 1\)

\(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\left(ĐK:x\ge0\right)\\ =\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\\ =1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\)

Ta thấy :

\(1>0,\sqrt{x}+1\ge1>0\forall x\ge0\\ =>\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}>0\\ =>-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}< 0\\ =>1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}< 1\\ =>\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}< 1\)

\(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{2x-\sqrt{x}-3}{x-9}\left(dkxd:x>0,x\ne9\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-3}-\dfrac{2x-\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)+\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)-\left(2x-\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x-3\sqrt{x}+2x+6\sqrt{x}-\sqrt{x}-3-2x+\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{x+3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\)

Ta có : \(P=A+\dfrac{1}{B}=\dfrac{x+7}{\sqrt{x}}+\left(1:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}\right)=\dfrac{x+7}{\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}\)

\(=\dfrac{x+7+\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}}=\dfrac{x+\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}\) \(=1+\left(\sqrt{x}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}\right)\left(x>0\right)\)

Áp dụng BĐT Cosi, ta có :

\(\sqrt{x}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}\ge2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{4}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{4}=4\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(\sqrt{x}=\dfrac{4}{\sqrt{x}}\Leftrightarrow x-4=0\Leftrightarrow x=4\)

Vậy \(min_P=4\) khi và chỉ khi \(x=4\)