Ta có:

x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = 2xy(x+y)

Đặt S = x + y, P = xy, ta có:

x^3 + y^3 + x^2 + y^2 = (x+y)(x^2 + y^2) = (x+y)^3 - 3xy(x+y) = S^3 - 3PS

Vậy ta có:

S^3 - 3PS + S^2 - 2P = 0

S^3 + S^2 - 3PS - 2P = S(S^2 + S - 3P) - 2P = 0

Do đó, ta có:

S^2 + S - 3P = 0

Sử dụng công thức Viết để tính nghiệm của phương trình bậc hai này, ta được:

S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2 hoặc S = (-1 - sqrt(1 + 12P))/2

Vì x và y là các số thực dương, nên ta chỉ quan tâm đến nghiệm dương của S, tức là:

S = (-1 + sqrt(1 + 12P))/2

Tiếp theo, ta có:

K = x^3 + y^3 + 3/(x^2 + y^2) + 2/((x+y)^2)

= S^3 - 3PS + 3/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)

= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2/(S^2)

= S^3 - 3PS + 3S^2/(S^2 - 2P) + 2S^2/(S^2 * (S^2 - 2P))

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 - 2P))

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(S^2 * (S^2 + 1 - 2xy))

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)P)

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/((S^2 + 1)^2 - 2(S^2-1)(S^3 - 3PS))

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(-2S^5 + 10S^3 - 2PS^2 + 2P)

= S^3 - 3PS + (5S^4 - 6PS^2)/(2S^5 - 10S^3 + 2PS^2 - 2P)

= S^3 - 3PS + (5S^2 - 6P)/(2S^3 - 10S +

Lời giải:
Gọi chiều rộng khu vườn là $a$ (m) thì chiều dài là $3a$ (m) 

Diện tích ban đầu: $a.3a=3a^2$ (m²)

Diện tích sau khi đổi: $(a+5)(3a+5)$ (m²)

Có: $(a+5)(3a+5)-3a^2=385$

$\Leftrightarrow 20a+25=385$

$\Rightarrow a=18$ (m)

Vậy chiều rộng ban đầu là 18 m và chiều dài là $18.3=54$ m

Lời giải:
a. Xét tam giác $ABC$ và $HBA$ có:
$\widehat{B}$ chung

$\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^0$

$\Rightarrow \triangle ABC\sim \triangle HBA$ (g.g)

Ta có:
$AB.AC=AH.BC$ (cùng bằng 2 lần diện tích tam giác $ABC$)

b. 

Xét tam giác $BHA$ và $AHC$ có:

$\widehat{BHA}=\widehat{AHC}=90^0$

$\widehat{HBA}=\widehat{HAC}$ (cùng phụ góc $\widehat{BAH}$)

$\Rightarrow \triangle BHA\sim \triangle AHC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{BH}{HA}=\frac{AH}{HC}$

$\Rightarrow AH^2=BH.CH$.

Hình vẽ:

Bạn cần trợ giúp bài nào thì nên ghi chú rõ bài đó ra nhé.

a, Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BKC\), ta có:

\(\widehat{D}\) = \(\widehat{K}\) = 90 độ

\(\widehat{C}\) chung

\(\Rightarrow\)\(\Delta ADC\) đồng dạng \(\Delta BKC\)

b, thiếu dữ kiện

Lời giải:
Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $A$ xuống $BC$. Vì $ABC$ cân tại $A$ nên $H$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow HB=BC:2=3$ (cm) 

Áp dụng định lý Pitago: $AH=\sqrt{AB^2-HB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ (cm) 

Diện tích đáy: $S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{4.6}{2}=12$ (cm²)

Thể tích: $AA'.S_{ABC}=9.12=108$ (cm³)

Diện tích xung quanh: $P_{ABC}.AA'=(AB+BC+AC).AA'=(5+5+6).9=144$ (cm²)

Diện tích toàn phần: $144+2\times 12=168$ (cm²)

Lời giải:
a. 
$A=\frac{3x+15}{(x-3)(x+3)}+\frac{x-3}{(x+3)(x-3)}-\frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}$

$=\frac{3x+15+(x-3)-2(x+3)}{(x+3)(x-3)}=\frac{2x+6}{(x-3)(x+3)}$

$=\frac{2(x+3)}{(x-3)(x+3)}=\frac{2}{x-3}$
b.

Để $A=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{x-3}=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow x-3=4$

$\Leftrightarrow x=7$ (tm)

Trong 1 giờ hai người cùng làm được: 1 : 10 = \(\dfrac{1}{10}\) ( công việc)

Theo bài ra ta có số ngày hai người làm chung công việc là:

                    6 + 3 = 9 ( ngày)

Số phần công việc hai người cùng làm trong 9 ngày là:

                     \(\dfrac{1}{10}\) \(\times\) 9  = \(\dfrac{9}{10}\)

Số phần công việc người thứ hai phải làm một mình trong 3 ngày là:

                     1  - \(\dfrac{9}{10}\) = \(\dfrac{1}{10}\) ( công việc)

Trong 1 ngày người thứ hai làm một mình được:

                      \(\dfrac{1}{10}\): 3 = \(\dfrac{1}{30}\) ( công việc)

Nếu làm một mình thì người thứ hai làm xong công việc sau:

                     1 : \(\dfrac{1}{30}\) = 30 ( ngày)

Trong 1 giờ người thứ nhất làm một mình được:

                     \(\dfrac{1}{10}\) - \(\dfrac{1}{30}\) =  \(\dfrac{1}{15}\) ( công việc)

Người thứ nhất nếu làm một mình sẽ xong công việc sau:

                       1: \(\dfrac{1}{15}\) = 15 ( ngày)

Kết luận: Người thứ nhất hoàn thành công việc nếu làm một mình sau 15 ngày

             Người thứ hai làm một mình sẽ xong công viêc sau 30 ngày