\(ĐKXĐ:x\ge3\)

\(\sqrt{x-3+4\sqrt{x-3}+4}+\sqrt{x-3-4\sqrt{x-3}+4}=x-11\)

\(\sqrt{\left(\sqrt{x-3}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-3}-2\right)^2}=x-11\)

\(\sqrt{x-3}+2+\sqrt{x-3}-2=x-11\)

\(2\sqrt{x-3}=x-11\)

\(4\left(x-3\right)=\left(x-11\right)^2\)

\(4x-12=x^2-22x+121\)

\(x^2-26x+133=0\)

\(\left(x-19\right)\left(x-7\right)=0\)

\(\left[{}\begin{matrix}x=19\left(TM\right)\\x=7\left(TM\right)\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(A=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\)

\(\Rightarrow A^3=5\sqrt{2}+7-5\sqrt{2}+7-3\left(5\sqrt{2}+7\right)\left(5\sqrt{2}-7\right)\left(\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}-\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}\right)\)

\(=14-3\left(50-49\right)A\)

\(\Rightarrow A^3=14-3A\Leftrightarrow A^3+3A-14=0=\left(A-2\right)\left(A^2+2A+7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow A-2=0\Leftrightarrow A=2\)

=> Đpcm

a) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC, ta có: 

\(AB^2=BH.BC=BH\left(BH+HC\right)=3,6\left(3,6+6,4\right)=3,6.10=36\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{36}=6\)(cm)

\(AC^2=HC.BC=HC\left(BH+HC\right)=6,4\left(3,6+6,4\right)=6,4.10=64\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

\(AH^2=HB.HC=3,6.6,4=23,04\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{23,04}=4,8\left(cm\right)\)

b) Xét tứ giác AEHF có 3 góc vuông: \(\widehat{EAF};\widehat{AEH};\widehat{HFA}\)

=> Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

=> EF=AH=4,8(cm)

c) Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AHB, ta có:

\(AH^2=AE=AB\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông AHC, ta có:

\(AH^2=AF.AC\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: AE.AB=AF.AC

d) Theo kết quả câu c: \(AE.AB=AF.AC\Rightarrow\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AC}{AB}\)

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ACB:\)

\(\widehat{EAF}=\widehat{BAC}=90^o\)

\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AC}{AB}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AEF~\Delta ACB\left(c-g-c\right)\)

\(a+b+c=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=1\) (do \(a+b+c=1\)) 

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=2\) (1)

Mặt khác:

\(a+b+c=1\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=1\) (2)

Cộng vế (1) và (2):

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1\)

\(\Rightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right)\) và các bộ hoán vị của chúng

Ta có: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3abc-3ab\left(a+b\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

Mà \(a+b+c=1\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)\(=1\)

\(\Rightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-a\right)^2+\left(a-c\right)^2=2\)

Vì a, b, c nguyên nên: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=1\\\left(c-a\right)^2=1\end{matrix}\right.\) và các hoán vị của nó

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=0\\\left[{}\begin{matrix}b-c=1\\b-c=-1\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}c-a=1\\c-a=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b\\\left[{}\begin{matrix}b=1+c\\b=-1+c\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}c=1+a\\c=-1+a\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Thay vô \(a+b+c=1\) để tìm a, b, c

(Chú ý lúc kết luận, ghi các nghiệm vừa tìm được và viết thêm cụm "và các hoán vị của nó")