À cái này phải làm như thế này:

đpcm \(\Leftrightarrow\)\(\sqrt{10}+\sqrt{17}>\sqrt{61}-1\) \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{10}+\sqrt{17}\right)^2>\left(\sqrt{61}-1\right)^2\)\(\Leftrightarrow27+2\sqrt{170}>62-2\sqrt{61}\) \(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{170}+\sqrt{61}\right)>35\) \(\Leftrightarrow\sqrt{170}+\sqrt{61}>\dfrac{35}{2}\) \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{170}+\sqrt{61}\right)^2>\dfrac{1225}{4}\) \(\Leftrightarrow231+2\sqrt{10370}>\dfrac{1225}{4}\) \(\Leftrightarrow2\sqrt{10370}>\dfrac{301}{4}\) \(\Leftrightarrow\sqrt{10370}>\dfrac{301}{8}\) \(\Leftrightarrow10370>\dfrac{90601}{64}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{663680}{64}>\dfrac{90601}{64}\) (luôn đúng)

 Vậy ta có đpcm

Tức là bạn sẽ chứng minh \(\sqrt{10}+\sqrt{17}>\sqrt{60}\) ???

Điều này \(\Leftrightarrow\left(\sqrt{10}+\sqrt{17}\right)^2>60\) \(\Leftrightarrow27+2\sqrt{170}>60\) \(\Leftrightarrow2\sqrt{170}>33\) \(\Leftrightarrow\sqrt{170}>\dfrac{33}{2}\Leftrightarrow170>\dfrac{1089}{4}\Leftrightarrow\dfrac{680}{4}>\dfrac{1089}{4}\) \(\Leftrightarrow680>1089\) ???

Bạn nên xem lại đề nhé.

Áp dụng Pitago:

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2\sqrt{13}\) (cm)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AH.BC=AB.AC\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{12\sqrt{13}}{13}\) (cm)

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{8\sqrt{13}}{13}\) (cm)

\(CH=BC-BH=\dfrac{18\sqrt{13}}{13}\) (cm)

Áp dụng định lý Pythagoras vào tam giác vuông ABC, ta có: \(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\)

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC, ta có: 

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{4^2}{2\sqrt{13}}=\dfrac{8\sqrt{13}}{13}\)

\(\Rightarrow HC=BC-BH=2\sqrt{13}-\dfrac{8\sqrt{13}}{13}=\dfrac{18\sqrt{13}}{13}\)

\(AH^2=BH.CH=\dfrac{8\sqrt{13}}{13}.\dfrac{18\sqrt{13}}{13}=\dfrac{144}{13}\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{\dfrac{144}{13}}=\dfrac{12\sqrt{13}}{13}\)

Đặt \(A=2\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

Giả sử A là một số hữu tỉ\(\Rightarrow\)A có dạng \(A=\dfrac{x}{y}\) (tối giản, \(x;y\in N;y\ne0\))

\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}=2\sqrt{2}+\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{x^2}{y^2}=\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)=11+4\sqrt{6}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y^2}-11=4\sqrt{6}\)

Ta thấy \(\dfrac{x^2}{y^2};11\) là các số hữu tỉ nên \(\dfrac{x^2}{y^2}-11\) là một số hữu tỉ

Mặt khác \(4\sqrt{6}\) là một số vô tỷ 

Nên \(\dfrac{x^2}{y^2}-11=4\sqrt{6}\) vô lý

\(\Rightarrow\)Giả thiết bị sai

\(\Rightarrow A\) là một số vô tỉ

\(\Rightarrow2\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là một số vô tỉ

\(2x^2-8x+16=4\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2-4x+8\right)=4\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+8=2\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+2=0\) ( vô lý )

Vậy pt vô nghiệm

2x² - 8x +16=4

⇒ 2x² - 8x +12=0

⇒ x² - 4x +3 = 0 

PT vô nghiệm vì Δ = b²-4.ac= (4²-4.1.3)=16-12=4>0 

\(B=m^2-2.\dfrac{5}{2}.m+\dfrac{25}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

\(B_{min}=\dfrac{3}{4}\) khi \(m=\dfrac{5}{2}\)

\(B=m^2-5m+7\)

\(B=m^2-2.\dfrac{5}{2}.m+\left(\dfrac{5}{2}\right)^2-\left(\dfrac{5}{2}\right)^2+7\)

\(B=\left(m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow m=\dfrac{5}{2}\)

Vậy \(Min_B=\dfrac{3}{4}\) khi `m=5/2`

xét tam giác abc vuông tại a, đường cao ah:
  +bc^2=ab^2 +ac^2 (đ/ly pitago)
    bc^2=4^2+6^2
→ bc ≈ 7,2
  +ab^2=bh.bc (htl)
    4^2=bh.7.2
→bh≈2,2
  +ac^2=ch.bc (htl)
    6^2=ch.7,2 
→ch=5
  +ah^2=hb.hc (htl)
    ah^2=2,2.5
    ah ≈3,3

\(\sqrt{x^2-4x+5}+\sqrt{x^2-4x+8}+\sqrt{x^2-4x+9}=3+\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2-4x+5}-1\right)+\left(\sqrt{x^2-4x+8}-2\right)+\left(\sqrt{x^2-4x+9}-\sqrt{5}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2-4x+5-1}{\sqrt{x^2-4x+5}+1}+\dfrac{x^2-4x+8-4}{\sqrt{x^2-4x+8}+2}+\dfrac{x^2-4x+9-5}{\sqrt{x^2-4x+9}+\sqrt{5}}=0\)\(\left(Vì:\sqrt{x^2-4x+5}+1>0;\sqrt{x^2-4x+8}+2>0;\sqrt{x^2-4x+9}+\sqrt{5}>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4x+5}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4x+8}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4x+9}+\sqrt{5}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4=0\left(Vì:\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4x+5}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4x+8}+2}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4x+9}+\sqrt{5}}>0\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

Ta có: 

\(\sqrt{x^2-4x+5}+\sqrt{x^2-4x+8}+\sqrt{x^2-4x+9}\)

\(=\sqrt{\left(x-2\right)^2+1}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+4}+\sqrt{\left(x-2\right)^2+5}\ge1+2+\sqrt{5}=3+\sqrt{5}\)

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi \(x-2=0\)\(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy x=2

Điều kiện \(x\ge11\)

pt đã cho \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-3\right)+4\sqrt{x-3}+4}+\sqrt{\left(x-3\right)-4\sqrt{x-3}+4}=x-11\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-3}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-3}-2\right)^2}=x-11\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-3}+2+\left|\sqrt{x-3}-2\right|=x-11\) (*) (do \(\sqrt{x-3}+2>0\) với \(x\ge11\))

Xét trường hợp \(\sqrt{x-3}-2< 0\Leftrightarrow\sqrt{x-3}< 2\Leftrightarrow x-3< 4\Leftrightarrow x< 7\) (trường hợp này không xảy ra do \(x\ge11\))

Xét trường hợp \(\sqrt{x-3}-2\ge0\Leftrightarrow x\ge7\), kết hợp với điều kiện \(x\ge11\) thì trong trường hợp này, \(x\ge11\)

Khi đó (*) \(\Leftrightarrow\sqrt{x-3}+2+\sqrt{x-3}-2=x-11\) 

\(\Leftrightarrow x-2\sqrt{x-3}-11=0\) \(\Leftrightarrow\left(x-3\right)-2\sqrt{x-3}-8=0\)  (1)

Đặt \(\sqrt{x-3}=p\left(p\ge2\sqrt{2}\right)\), khi đó (1) trở thành:

\(p^2-2p-8=0\Leftrightarrow\left(p-1\right)^2-9=0\) \(\Leftrightarrow\left(p-1+3\right)\left(p-1-3\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(p+2\right)\left(p-4\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}p=-2\left(loại\right)\\p=4\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-3}=4\Leftrightarrow x-3=16\Leftrightarrow x=19\left(nhận\right)\)

Vậy pt đã cho có tập nghiệm là \(S=\left\{19\right\}\)