Gọi số dụng cụ mỗi ngày phải làm là x(dụng cụ), gọi số ngày phải hoàn thành là y(ngày)

(Điều kiện: \(x\in Z^+;y>0\))

Người thứ nhất làm vượt mức mỗi ngày 3 dụng cụ nên làm xong công việc sớm 2 ngày nên ta có:

(x+3)(y-2)=xy

=>xy-2x+3y-6=xy

=>-2x+3y=6(1)

Người thứ hai làm kém định mức mỗi ngày 3 dụng cụ nên hoàn thành lâu hơn 3 ngày nên ta có:
(x-3)(y+3)=xy

=>xy+3x-3y-9=xy

=>3x-3y=9

=>x-y=3(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y=6\\x-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y=6\\2x-2y=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+3y+2x-2y=6+6\\x-y=3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=12\\x=y+3=15\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Số dụng cụ được giao là 12*15=180(dụng cụ)

a: Xét \(\left(\dfrac{MC}{2}\right)\) có

ΔCDM nội tiếp

CM là đường kính

Do đó: ΔCDM vuông tại D

=>BD\(\perp\)DC tại D

Xét tứ giác ABCD có \(\widehat{CDB}=\widehat{CAB}=90^0\)

nên ABCD là tứ giác nội tiếp

b: ta có: ABCD là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\)

1: Ta có: ΔOCD cân tại O

mà OK là đường trung tuyến

nên OK\(\perp\)CD

Xét tứ giác OKMB có \(\widehat{OKM}+\widehat{OBM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OKMB là tứ giác nội tiếp

2: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của AB

=>OM\(\perp\)AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(OH\cdot OM=OA^2\)

=>\(OH\cdot OM=R^2\left(3\right)\)

Xét ΔOHN vuông tại H và ΔOKM vuông tại K có

\(\widehat{HON}\) chung

Do đó: ΔOHN~ΔOKM

=>\(\dfrac{OH}{OK}=\dfrac{ON}{OM}\)

=>\(OK\cdot ON=OH\cdot OM\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(OK\cdot ON=R^2\)

=>\(OK\cdot ON=OC^2\)

=>\(\dfrac{OK}{OC}=\dfrac{OC}{ON}\)

Xét ΔOKC và ΔOCN có

\(\dfrac{OK}{OC}=\dfrac{OC}{ON}\)

\(\widehat{KOC}\) chung

Do đó: ΔOKC~ΔOCN

=>\(\widehat{OCN}=\widehat{OKC}\)

=>\(\widehat{OCN}=90^0\)

=>NC là tiếp tuyến của (O)

Xét (O) có

\(\widehat{BAM}\) là góc nội tiếp chắn cung BM

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

Do đó: \(sđ\stackrel\frown{BM}=sđ\stackrel\frown{CM}\)

=>BM=CM

=>M nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OM là đường trung trực của BC

=>OM đi qua trung điểm của BC

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\dfrac{1}{2}x^2=x\)

=>\(\dfrac{1}{2}x^2-x=0\)

=>\(x\left(\dfrac{1}{2}x-1\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=2\end{matrix}\right.\)

Thay x=0 vào y=x, ta được:

y=x=0

Thay x=2 vào y=x, ta được:

y=x=2

Vậy: Tọa độ giao điểm là O(0;0); A(2;0)

Bài 6:

Gọi số học sinh của lớp 9A và lớp 9B lần lượt là a(bạn),b(bạn)

(Điều kiện: \(a,b\in Z^+\))

Tổng số học sinh là 105 nên a+b=105(1)

Số cây lớp 9A trồng được là 4a(cây)

Số cây lớp 9B trồng được là 5b(cây)

Tổng số cây hai lớp trồng được là 472 cây nên 4a+5b=472(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=105\\4a+5b=472\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}4a+4b=420\\4a+5b=472\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-b=-52\\a+b=105\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}b=52\\a=105-52=53\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: số học sinh của lớp 9A và lớp 9B lần lượt là 53 bạn và 52 bạn

Bài 5:

Gọi số học sinh của lớp 9B và lớp 9C lần lượt là a(bạn),b(bạn)

(Điều kiện: \(a,b\in Z^+\))

Tổng số học sinh là 78 nên a+b=78(3)

Số cây lớp 9B trồng được là 3a(cây)

Số cây lớp 9C trồng được là 4b(cây)

Tổng số cây hai lớp trồng được là 274 cây nên 3a+4b=274(4)

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}3a+4b=274\\a+b=78\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3a+4b=274\\3a+3b=234\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=40\\a=78-b=78-40=38\end{matrix}\right.\left(nhận\right)\)

Vậy: số học sinh của lớp 9B và lớp 9C lần lượt là 38 bạn và 40 bạn

a: Xét (O) có

ΔPEQ nội tiếp

PQ là đường kính 

Do đó: ΔPEQ vuông tại E

Xét tứ giác HEQS có \(\widehat{HEQ}+\widehat{HSQ}=90^0+90^0=180^0\)

nên HEQS là tứ giác nội tiếp

b: Xét ΔSPH vuông tại S và ΔSFQ vuông tại S có

\(\widehat{SPH}=\widehat{SFQ}\left(=90^0-\widehat{Q}\right)\)

Do đó: ΔSPH~ΔSFQ

=>\(\dfrac{SP}{SF}=\dfrac{SH}{SQ}\)

=>\(SP\cdot SQ=SH\cdot SF\)

ai giúp mik nhanh vs ạ mik tick