\(\left\{{}\begin{matrix}3x+ay=5\\2x+y=b\end{matrix}\right.\)

a) Để hpt có nghiệm duy nhất thì:

\(\dfrac{3}{2}\ne\dfrac{a}{1}\\ \Leftrightarrow a\ne\dfrac{3}{2}\) 

b) Để hpt vô nghiệm thì: 

\(\dfrac{3}{2}=\dfrac{a}{1}\ne\dfrac{5}{b}\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{3}{2}\ne\dfrac{5}{b}\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\b\ne\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\) 

c) Để hpt vô số nghiệm thì:

\(\dfrac{3}{2}=\dfrac{a}{1}=\dfrac{5}{b}\\ =>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{5}{b}=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\\ < =>\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}\\b=\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\)

\(a.A=\left(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{5-x}{1-x^2}\right):\dfrac{1-2x}{x^2-1}\left(x\ne\pm1;x\ne\dfrac{1}{2}\right)\\=\left[\dfrac{1+x}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}+\dfrac{2\left(1-x\right)}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}-\dfrac{5-x}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}\right]\cdot\dfrac{x^2-1}{1-2x}\\ =\dfrac{1+x+2-2x-5+x}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}\cdot\dfrac{x^2-1}{1-2x}\\ =\dfrac{-2}{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}\cdot\dfrac{x^2-1}{1-2x}\\ =\dfrac{2}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}\cdot\dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{1-2x}\\ =\dfrac{2}{1-2x}\)

b) Để A nguyên thì 2 ⋮ 1 - 2x

Mà: 1 - 2x lẻ với mọi x nguyên 

=> \(1-2x\in\left\{1;-1\right\}\)

=> \(2x\in\left\{0;2\right\}\)

=> \(x\in\left\{0;1\right\}\) 

Kết hợp với đk => x = 0 

c) Để \(\left|A\right|=A\Rightarrow A\ge0\) 

\(=>\dfrac{2}{1-2x}\ge0\\ =>1-2x>0\\ =>2x< 1\\ =>x< \dfrac{1}{2}\)

Kết hợp với đk `=>x<1/2;x≠-1`

Lời giải:

Đặt $\frac{1}{x-1}=a; \frac{1}{y+2}=b$ thì HPT trở thành:

\(\left\{\begin{matrix} 2a+b=2\\ 8a-3b=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b=2-2a\\ 8a-3b=1\end{matrix}\right.\Rightarrow 8a-3(2-2a)=1\)

$\Leftrightarrow 8a-6+6a=1$

$\Leftrightarrow 14a=7\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$

$b=2-2a=2-2.\frac{1}{2}=1$

Vậy $\frac{1}{x-1}=\frac{1}{2}; \frac{1}{y+2}=1$

$\Leftrightarrow x-1=2; y+2=1$

$\Leftrightarrow x=3; y=-1$

ĐK \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\y\ne-2\end{matrix}\right.\)

Đặt \(a=\dfrac{1}{x-1};b=\dfrac{1}{y+2}\left(a\ne0;b\ne0\right)\)

Hệ phương trình trở thành \(\left\{{}\begin{matrix}2a+b=2\\8a-3b=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2-2a\\8a-3.\left(2-2a\right)=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2-2a\\14a-6=1\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2-2a\\14a=7\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=2-2.0,5\\a=0,5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\a=0,5\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0,5\\b=1\end{matrix}\right.\)

- \(a=0,5\Rightarrow\dfrac{1}{x-1}=0,5\Rightarrow x-1=2\Rightarrow x=3\left(tm\right)\)

- \(b=1\Rightarrow\dfrac{1}{y+2}=1\Rightarrow y+2=1\Rightarrow y=-1\left(tm\right)\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm x = 3 và y = -1

a: Xét ΔIAM vuông tại M và ΔIAQ vuông tại Q có

AI chung

\(\widehat{MAI}=\widehat{QAI}\)

Do đó: ΔIAM=ΔIAQ

b: ta có: ΔIAM=ΔIAQ

=>IM=IQ

Xét ΔBMI vuông tại M và ΔBNI vuông tại N có

BI chung

\(\widehat{MBI}=\widehat{NBI}\)

Do đó: ΔBMI=ΔBNI

=>IM=IN

mà IM=IQ

nên IM=IN=IQ

a: Xét ΔIAM vuông tại M và ΔIAQ vuông tại Q có

AI chung

\(\widehat{MAI}=\widehat{QAI}\)

Do đó: ΔIAM=ΔIAQ

b: ta có: ΔIAM=ΔIAQ

=>IM=IQ

Xét ΔBMI vuông tại M và ΔBNI vuông tại N có

BI chung

\(\widehat{MBI}=\widehat{NBI}\)

Do đó: ΔBMI=ΔBNI

=>IM=IN

mà IM=IQ

nên IM=IN=IQ

a: Xét tứ giác BFHD có \(\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AFDC có \(\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90^0\)

nên AFDC là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(\widehat{BOC}=2\cdot\widehat{BAC}=120^0\)

Độ dài cung nhỏ BC là:

\(l=\dfrac{\Omega\cdot R\cdot n}{180}=\dfrac{\Omega\cdot4\cdot120}{180}=\Omega\cdot\dfrac{8}{3}\)

c: Xét tứ giác CEHD có \(\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0\)

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Ta có: \(\widehat{FDH}=\widehat{FBH}\)(BFHD nội tiếp)

\(\widehat{EDH}=\widehat{ECH}\)(CEHD nội tiếp)

mà \(\widehat{FBH}=\widehat{ECH}\left(=90^0-\widehat{BAC}\right)\)

nên \(\widehat{FDH}=\widehat{EDH}\)

=>DA là phân giác của góc FDE

Bài 15:

1: \(A=4x-x^2+1\)

\(=-\left(x^2-4x-1\right)\)

\(=-\left(x^2-4x+4-5\right)\)

\(=-\left(x-2\right)^2+5< =5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-2=0

=>x=2

2: \(B=3-4x-x^2\)

\(=-\left(x^2+4x-3\right)\)

\(=-\left(x^2+4x+4-7\right)\)

\(=-\left(x+2\right)^2+7< =7\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x+2=0

=>x=-2

3: \(C=8-x^2-5x\)

\(=-\left(x^2+5x-8\right)\)

\(=-\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}-\dfrac{57}{4}\right)\)

\(=-\left(x+\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{57}{4}< =\dfrac{57}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x+\dfrac{5}{2}=0\)

=>\(x=-\dfrac{5}{2}\)

4: \(D=-x^2+6x-4\)

\(=-\left(x^2-6x+4\right)\)

\(=-\left(x^2-6x+9-5\right)\)

\(=-\left(x-3\right)^2+5< =5\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-3=0

=>x=3

5: \(E=-10-x^2-6x\)

\(=-\left(x^2+6x+10\right)=-\left(x^2+6x+9+1\right)\)

\(=-\left(x+3\right)^2-1< =-1\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x+3=0

=>x=-3

6: \(F=-x^2+13x+1\)
\(=-\left(x^2-13x-1\right)\)

\(=-\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{13}{2}+\dfrac{169}{4}-\dfrac{173}{4}\right)\)

\(=-\left(x-\dfrac{13}{2}\right)^2+\dfrac{173}{4}\le\dfrac{173}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-13/2=0

=>x=13/2

7: \(G=-4x^2+8x-7\)

\(=-\left(4x^2-8x+7\right)\)

\(=-\left(4x^2-8x+4+3\right)\)

\(=-\left(2x-2\right)^2-3< =-3\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi 2x-2=0

=>2x=2

=>x=1

8: \(H=-4x^2-12x\)

\(=-\left(4x^2+12x\right)\)

\(=-\left(4x^2+12x+9-9\right)\)

\(=-\left(2x+3\right)^2+9< =9\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi 2x+3=0

=>x=-3/2

9: \(I=3x-9x^2-1\)

\(=-9\left(x^2-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{9}\right)\)

\(=-9\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{12}\right)\)

\(=-9\left(x-\dfrac{1}{6}\right)^2-\dfrac{3}{4}< =-\dfrac{3}{4}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x-1/6=0

=>x=1/6

10: \(K=7-9x^2-8x\)

\(=-9\left(x^2+\dfrac{8}{9}x-\dfrac{7}{9}\right)\)

\(=-9\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{4}{9}+\dfrac{16}{81}-\dfrac{79}{81}\right)=-9\left(x+\dfrac{4}{9}\right)^2+\dfrac{79}{9}< =\dfrac{79}{9}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi x+4/9=0

=>x=-4/9

Để số nam và số nữ chia đều vào mỗi tổ thì số tổ thuộc ƯC(24,18)

Ta có: \(24=2^3\cdot3\); \(18=3^2\cdot2\)

=> \(ƯLCN\left(24;18\right)=2\cdot3=6\)

=> \(ƯC\left(24;18\right)=Ư\left(6\right)=\left\{1;2;3;6\right\}\)

=> Có 4 cách chia tổ 

Lời giải:
Ta có: $BC+CD=BD\Rightarrow BC=BD-CD=8-4=4$ (cm) 

Vậy $AB=BC=4$ (cm). Mà $B$ nằm giữa $A,C$ nên $B$ là trung điểm $AC$.