SCó :\(A=\) \(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\)=\(\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\) ( chia tử mẫu cho \(a^3\) )     =\(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\) 
Lại có\(\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}\)  =\(\sqrt{\left(1+\frac{b+c}{a}\right)\left[1-\frac{b+c}{a}+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2\right]}\)( hằng đẳng thức )
                                                  \(\le\)\(\frac{2+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2}{2}\)( áp dụng \(\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\))
Nên \(\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3}}\ge\frac{2}{2+\left(\frac{b+c}{a}\right)^2}\)\(=\frac{2a^2}{2a^2+\left(b+c\right)^2}\ge\frac{2a^2}{2a^2+2b^2+2c^2}\)( vì \(\left(b+c\right)^2\le2b^2+2c^2\)) . TỪ ĐÓ SUY RA :
\(A=\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)
Cmtt có : \(B=\sqrt[]{\frac{b^3}{b^3+\left(c+a\right)^3}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\)
        
                 \(C=\sqrt{\frac{c^3}{c^3+\left(a+b\right)^3}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)
VẬY \(A+B+C\ge1\)

 

Giải hộ tớ với

Gọi pt trên là pt (1), pt dưới là pt (2).

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow2x^2+\left(y-6\right)x-2y+4.\)

Ta có: \(\Delta=\left(y-6\right)^2-4\cdot2\left(4-2y\right)=y^2-12y+36-32+16y=y^2+4y+4=\left(y+2\right)^2\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{6-y+y+2}{4}=2\\x=\frac{6-y-y-2}{4}=\frac{2-y}{2}\end{cases}}\)

Với từng trường hợp thay vào pt (2) sẽ ra, tự lm nhé

\(\hept{\begin{cases}x^3+y^3=1\\2y^3+x^2y+3xy^2=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x^3+3y^3=3\\2y^3+x^2y+3xy^2=3\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow3x^3-x^2y-3xy^2+y^3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(3x-y\right)-y^2\left(3x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x-y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\)

đến đây biểu diễn y thae x rồi thay vào 1 trong 2 pt là ra