Ghê thế àk!!!!!!

2

4

6

Học tốt

Theo giả thiết cho:  \(xyzt=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)\left(1-t\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1-x}{x}.\frac{1-y}{y}.\frac{1-z}{z}.\frac{1-t}{t}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1-x}{x},\frac{1-y}{y},\frac{1-z}{z},\frac{1-t}{t}\right)\rightarrow\left(a,b,c,d\right)\). Lúc đó thì giả thiết được viết lại thành abcd = 1 

Ta có: \(a=\frac{1-x}{x}=\frac{1}{x}-1\Rightarrow x=\frac{1}{a+1}\Rightarrow x^2=\frac{1}{\left(a+1\right)^2}\)

Tương tự, ta có: \(y^2=\frac{1}{\left(b+1\right)^2};z^2=\frac{1}{\left(c+1\right)^2};t^2=\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\)và khi đó ta cần chứng minh:\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\ge1\)

Ta có BĐT phụ sau: \(\frac{1}{\left(p+1\right)^2}+\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{1}{pq+1}\)(*)

Thật vậy, theo BĐT Cauchy-Schwarz cho hai dãy số (pq;1) và \(\left(\frac{p}{q};1\right)\), ta có: \(\left(pq+1\right)\left(\frac{p}{q}+1\right)\ge\left(p+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(p+1\right)^2}\ge\frac{\frac{q}{p+q}}{pq+1}\)(1)

Tương tự ta có: \(\Rightarrow\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{\frac{p}{p+q}}{pq+1}\)(2)

Cộng theo vế của 2 BĐT (1) và (2), ta được:

\(\frac{1}{\left(p+1\right)^2}+\frac{1}{\left(q+1\right)^2}\ge\frac{1}{pq+1}\)(đúng với (*))

Áp dụng vào bài toán, ta được:

\(\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{1}{\left(b+1\right)^2}+\frac{1}{\left(c+1\right)^2}+\frac{1}{\left(d+1\right)^2}\ge\frac{1}{ab+1}+\frac{1}{cd+1}\)

\(=\frac{1}{\frac{1}{cd}+1}+\frac{1}{cd+1}=\frac{cd}{cd+1}+\frac{1}{cd+1}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)hay x = y = z = t =  \(\frac{1}{2}\)

22222222222222222222222

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=5\)

<=>   \(2\sqrt{x+1}+2\sqrt{4-x}+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=10\)  (*)

Dat:   \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=a\)       \(\left(a\ge0\right)\)

=>   \(a^2-5=2\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}\)

Khi đó pt (*) trở thành:

    \(2a+a^2-5=5\)

<=>  \(a^2+2a-10=0\)

Đến đây tự giải tiếp, k giải đc ib mk

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=5\)

<=>   \(2\sqrt{x+1}+2\sqrt{4-x}+2\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=10\)  (*)

Dat:   \(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}=a\)       \(\left(a\ge0\right)\)

=>   \(a^2-5=2\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}\)

Khi đó pt (*) trở thành:

    \(2a+a^2-5=5\)

<=>  \(a^2+2a-10=0\)

Đến đây tự giải tiếp, k giải đc ib mk