\(\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}-\sqrt{2-\sqrt{3}}\right).\sqrt{2}\\ =\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}\\ =\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\\ =\left|\sqrt{3}+1\right|-\left|\sqrt{3}-1\right|\\ =\sqrt{3}+1-\left(\sqrt{3}-1\right)=2\)

\(\dfrac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}}{\sqrt{5-2\sqrt{6}}}=\dfrac{\sqrt{3}.\sqrt{2}.\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^2}}\\ =\dfrac{\sqrt{6}.\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)}{\left|\sqrt{2}-\sqrt{3}\right|}\\ =\dfrac{-\sqrt{6}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=-\sqrt{6}\)

Kẻ đường cao \(AH\).

\(cot60^o=\dfrac{BH}{AH},cot50^o=\dfrac{CH}{AH}\)

\(cot60^o+cot50^o=\dfrac{BH+CH}{AH}=\dfrac{20}{AH}\)

\(\Leftrightarrow AH=\dfrac{20}{cot60^o+cot50^o}\)

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.20.\dfrac{20}{cot60^o+cot50^o}=\dfrac{200}{cot60^o+cot50^o}\)

\(\dfrac{a}{2-a}+\dfrac{b}{2-b}=1\Leftrightarrow a\left(2-b\right)+b\left(2-a\right)=\left(2-a\right)\left(2-b\right)\)

<=> 4a + 4b = 3ab + 4

Khi đó \(M=\sqrt{\left(4a+4b\right)^2-24ab-16}-3ab\)

\(=\sqrt{\left(3ab+4\right)^2-24ab-16}-3ab=\sqrt{\left(3ab\right)^2}-3ab=0\left(\text{vì }a;b>0\right)\)

gợi ý cách tách dựa vào cái hạng tử số 3 nhé

Thử nháp ko máy tính ☺ 

\(B=\dfrac{x+12}{\sqrt{x}+2}\) (điều kiện \(x\ge0\))

Đặt \(\sqrt{x}=t\left(t\ge0\right)\), khi đó \(B=\dfrac{t^2+12}{t+2}\) \(\Rightarrow\left(t+2\right)B=t^2+12\) \(\Leftrightarrow t^2-B.t+12-2B=0\) (*)

Phương trình (*) có \(\Delta=\left(-B\right)^2-4.1.\left(12-2B\right)\) \(=B^2+8B-48\)

Để pt (*) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\) hay \(B^2+8B-48\ge0\) \(\Leftrightarrow\left(B+12\right)\left(B-4\right)\ge0\)

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}B+12\ge0\\B-4\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow B\ge4\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}B+12\le0\\B-4\le0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow B\le-12\)

Ta thấy do \(x\ge0\) nên \(x+12>0\) và \(\sqrt{x}+2>0\). Do đó \(B>0\). Vậy trường hợp 2 \(\left(B\le-12\right)\) là không thể xảy ra. Vậy ta chỉ nhận trường hợp \(B\ge4\) hay \(min_B=4\)

Khi \(B=4\) thì thay vào (*), ta có \(t^2-4t+12-2.4=0\) \(\Leftrightarrow t^2-4t+4=0\) \(\Leftrightarrow\left(t-2\right)^2=0\) \(\Leftrightarrow t=2\) (nhận)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\) \(\Leftrightarrow x=4\) (nhận)

Vậy \(B\ge4\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=4\)

Mình nghĩ phải là \(HB.HC=4OE^2\) mới đúng.

Dễ thấy tứ giác AEHF là hình chữ nhật do có \(\widehat{EAF}=\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o\)

Do đó \(EF=AH\) (2 đường chéo của hình chữ nhật thì bằng nhau) và \(AH=EF=2OE\) (do 2 đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn)

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH nên \(HB.HC=AH^2\) \(\Rightarrow HB.HC=\left(2OE\right)^2=4OE^2\) (đpcm)

HE vuông góc vs AB nha giúp mik vs