a) \(\frac{9x^2}{11y^2}:\frac{6x}{11y}=\frac{9x^2}{11y^2}\cdot\frac{11y}{6x}=\frac{3xy}{2}\)

b) \(\frac{x^2-49}{x-7}+x-2=\frac{\left(x-7\right)\left(x+7\right)}{x-7}+x-2=x+7+x-2=2x+5\)

c) \(\frac{3}{x+3}+\frac{1}{x-3}-\frac{18}{9-x^2}\)

= \(\frac{3\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{1\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{18}{\left(3-x\right)\left(x+3\right)}\)

= \(\frac{3x-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{x+3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{18}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

= \(\frac{3x-9+x+3+18}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

= \(\frac{4x+12}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

= \(\frac{4\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{4}{x-3}\)(đk: \(x-3\ne0\)=> \(x\ne3\))

Dễ quá nè !!!

pt <=> (x^8-2x^4+1)+(x^2-2x+1)=0

<=> (x^4-1)^2+(x-1)^2=0

Có (x^4-1)^2 và (x-1)^2 >=0 với mọi x

Mà tổng lại =0

=> ''='' xảy ra <=> x^4-1=0 và x-1=0

<=> x=1

Vậy x=1.

\(x^8-2x^4+x^2-2x+2=0\)

Phân tích \(x^8-2x^4+x^2-2x+2\)thành nhân tử như sau:

\(\left(x-1\right)^2\left(x^6+2x^5+3x^4+4x^3+3x^2+2x+2\right)\)(Dài vãi, mk ko làm ra)

\(pt\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^6+2x^5+3x^4+4x^3+3x^2+2x+2\right)=0\)

Dễ c/m: \(\left(x^6+2x^5+3x^4+4x^3+3x^2+2x+2\right)\ne0\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\)

câu a nhá

Có AC và BN là hai đường chéo của tứ giác AHCN

Mà :

MA = MC ( Gt ) thật ra M là trung điểm

BM = NM ( N đối xứng H qua M )

Nên AHCN là hbh có góc H = 90 độ ( AH là đường cao ) vậy hbh AHCN là HCN

CÂU B MK CHƯA HỌC SORRY NHA

\(P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\)

\(P=\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{z^2}{xz+yz}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức 

\(\Rightarrow\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{xy+yz}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\left(1\right)\)

Theo hệ quả của bất đẳng thức Cauchy 

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{3\left(xy+yz+xz\right)}{2\left(xy+yz+xz\right)}=\frac{3}{2}\)

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow\frac{x^2}{xy+xz}+\frac{y^2}{xy+zy}+\frac{z^2}{xz+yz}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\frac{3}{2}\)

Vậy \(P_{min}=\frac{3}{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi x = y= z 

Áp dụng BĐT Netbitt ta có Vì x,y,z >0 nên 

\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = y = z > 0

a) Biểu thức M xác định <=> \(\hept{\begin{cases}2-2x\ne0\\2-2x^2\ne0\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}2x\ne2\\2x^2\ne2\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x\ne1\\x^2\ne1\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x\ne1\\x\ne\pm1\end{cases}}\)

Vậy đk xác định biểu thức M <=> x \(\ne\)\(\pm\)1

b) Ta có:

M = \(\frac{x}{2-2x}-\frac{x^2+1}{2-2x^2}\)

M = \(\frac{x}{2\left(1-x\right)}-\frac{x^2+1}{2\left(1-x^2\right)}\)

M = \(\frac{x}{2\left(1-x\right)}-\frac{x^2+1}{2\left(1-x\right)\left(x+1\right)}\)

M = \(\frac{x\left(x+1\right)}{2\left(1-x\right)\left(x+1\right)}-\frac{x^2+1}{2\left(1-x\right)\left(x+1\right)}\)

M = \(\frac{x^2+x-x^2-1}{2\left(1-x\right)\left(x+1\right)}\)

M = \(\frac{x-1}{-2\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

M = \(-\frac{1}{2\left(x+1\right)}\) (đk : x + 1 \(\ne\)0 => x \(\ne\)-1)

A B C D E F P Q M I R N H O

a) Chứng minh MNRQ là hình chữ nhật

Áp dụng tính chất đường trung bình:

+)  \(\Delta\)ABC => MN //= \(\frac{1}{2}\)  BC

+)   \(\Delta\)HBC => QR  //= \(\frac{1}{2}\)  BC (1)

=> MN//= QR 

=> MNQR là hình bình hành (2)

Xét \(\Delta\) ACH có NR là đường trung bình => NR //AH => NR //AD  (3)

Từ (1) ; ( 3) và AD vuông góc BC

=> NR vuông góc  RQ (4)

Từ (2) ; (4) => MNQR là hình chữ nhật

b) MPRI là hình bình hành

Áp dụng tính chất đường trung bình

+)    \(\Delta\)ABC => MI //= \(\frac{1}{2}\)  AC

+)   \(\Delta\)AHC => PR //= \(\frac{1}{2}\)  AC

=> MI //= PR

=> MPRI là hình bình hành

Tương tự câu a cũng chứng minh đc MP vuông PR

=> MPRI là hình chữ nhật

b) MNRQ là hình chữ nhật

có O là trung điểm MR 

=> OM =ON =OR = OQ

MPRI là hình chữ nhật

=> OM = OP = OR = OI

=> OM =ON =OR = OQ = OP = OI

=>  Q: M; P; N; N ; R; I thuộc đường tròn tâm O

c) Xét các  \(\Delta\)NEQ ; \(\Delta\) R FM ; \(\Delta\)PDI lần lượt vuông tại E; F; D tương ứng vs các cạnh huyền NQ; RM; PI

Các cạnh huyền đều có trung điểm là O ( câu b )

=> ON = OE = OQ

     OR = OF= OM

    OP= OD = OI

=> D; E; F thuộc đường tròn O.