chứng minh với mọi x,y khác 0 luôn có x^4+y^4< hoặc = x^6/y^2+y^6/x^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TA
2
MW
12 tháng 11 2019
Bn lay cai kim rut ngoi ra,roi sau do lay ngoi khac gan vao la dc.
minh chi biet vay thoi,neu bn so hu ngoi viet thi dung lam theo.
BM
3
KN
12 tháng 11 2019
Giả sử tồn tại cặp số nguyên (x; y) sao cho \(x^2-2018=y^2\)
\(\Rightarrow x^2-y^2=2018\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x-y\right)=2018\)
Dễ c/m: x và y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ (Vì nếu 1 trong 2 số x,y lẻ thì tích (x=y)(x-y) lẻ, vô lí)
Lúc đó \(\hept{\begin{cases}x+y⋮2\\x-y⋮2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)⋮4\)
Mà 2018 không chia hết cho 4 nên điều g/s là sai
Vậy không tồn tại cặp số nguyên x,y thoả mãn \(x^2-2018=y^2\)(đpcm)
XO
12 tháng 11 2019
Ta có : x2 - 2018 = y2
=> x2 - y2 = 2018
=> (x + y)(x - y) = 2018
Nếu x ; y \(\inℤ\)ta có : 2018 = 1.2018 = 2.1009 = (-1).(-2018) = (-2).(-1009)
Lập bảng xét 8 trường hợp ta có :
| x - y | 1 | 2018 | 2 | 1009 | -1 | -2018 | -1009 | -2 |
| x + y | 2018 | 1 | 1009 | 2 | -2018 | -1 | -2 | -1009 |
| x | 2019/2 | 2009/2 | 1011/2 | 1011/2 | -2019/2 | -2019/2 | -1011/2 | -1011/2 |
| y | 2017/2 | -2007/2 | 1007/2 | -1007/2 | -2017/2 | 2017/2 | -1007/2 | 1007/2 |
=> Không tồn tại cặp số nguyên x,y thỏa mãn
Áp dụng BĐT Cô - si cho 2 số không âm:
\(\frac{x^6}{y^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{x^8y^2}{y^2}}=2x^4\)
\(\frac{y^6}{x^2}+x^2y^2\ge2\sqrt{\frac{y^8x^2}{x^2}}=2y^4\)
Cộng từng các BĐT trên:
\(\frac{x^6}{y^2}+2x^2y^2+\frac{y^6}{x^2}\ge2x^4+2y^4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+x^4+y^4+y^4-2x^2y^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4+\left(x^2-y^2\right)^2\ge x^4+y^4\)
Vậy \(\frac{x^6}{y^2}+\frac{y^6}{x^2}\ge x^4+y^4\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=y\\x=-y\end{cases}}\))