Cm:Xét tứ tứ giác AEBH có: EM = MH (gt); AM = MB (gt)

                              \(\widehat{AHB}=90^0\)

=> tứ giác AEBH là hình chữ nhật

=> AE // BH hay AE // BC

b) Xét t/giác ABC cân tại A có AH là đường cao

=> AH cũng là đường trung tuyến

=> BH = HC

Ta có: AEBH là hình chữ nhật => AE = BH

            mà BH = HC (cmt)

=> AE = HC

Xét tứ giác ACHE có AE // HC (cmt)

      AE = HC (cmt)

=> ACHE là hình bình hành

c)  Để hình chữ nhật AHBE là hình vuông

<=> AH = HB 

<=> t/giác AHB là t/giác vuông cân

<=> \(\widehat{BAH}=45^0\)

<=> \(\widehat{A}=90^0\) (Do t/giác ABC cân có AH là đường cao => AH là đường trung tuyến)

<=> t/giác ABC vuông cân

Vậy ...

1) Biến đồi tương đương:

\(\left(x^2+y^2\right)^2\ge8\left(x-y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^2\ge8xy\left(x-y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-4xy+y^2\right)^2\ge0\)(đúng)

2) Sửa đề: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\left(\text{với }xy\ge1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-y\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(xy+1\right)}\ge0\) (đúng)

t ko xét dấu đẳng thức đâu, xấu lắm (ở bài 1), nên you tự xét:D

Ta có:

a) M = \(\left(\frac{6x}{x^2-9}-\frac{1}{x+3}+\frac{5}{3-x}\right):\frac{4}{x^2-3x}\)

M = \(\left(\frac{6x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}-\frac{x-3}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}-\frac{5\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\right)\cdot\frac{x^2-3x}{4}\)

M = \(\left(\frac{6x-x+3-5x-15}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\right)\cdot\frac{x\left(x-3\right)}{4}\)

M = \(\frac{-12.x\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right).4}\)

M = \(-\frac{3x}{x+3}\)

b) Với x = 2 => M = \(-\frac{3.2}{3+2}=-\frac{6}{5}\)

\(\frac{2}{3}\left(x+1\right)< \frac{2x+1}{5}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5.2\left(x+1\right)}{3.5}< \frac{3.\left(2x+1\right)}{5.3}\)

\(\Leftrightarrow10\left(x+1\right)< 3\left(2x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow10x+10< 6x+3\)

\(\Leftrightarrow4x< -7\)

\(\Leftrightarrow x< -\frac{7}{4}\)

(x + 1)(x² - x + 1) - (x - 1)(x² + x + 1)

= x(x² - x + 1) + x² - x + 1 - (x - 1)(x² + x + 1)

= x³ - x² + x + x² - x + 1 - [x(x² + x + 1) - (x² + x + 1)]

= x³ - x² + x + x² - x + 1 - x(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

= x³ + (-x² + x²) + (x - x) + 1 - x(x² + x + 1) + (x² + x + 1)

= x³ + 1 - x(x² + x + 1) + x² + x + 1

= x³ + (1 + 1) - x(x² + x + 1) + x² + x 

= x³ + 2 - x(x² + x + 1) + x² + x

= x³ + 2 - x³ - x² - x + x² + x

= (x³ - x³) + 2 + (-x² + x²) + (-x + x)

= 2

Vậy: biểu thức không phụ thuộc vào biến

\(\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)-\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)

\(=\left(x^3+1\right)-\left(x^3-1\right)\)

\(=x^3+1-x^3+1=2\)

Vậy giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của x (đpcm)

\(isitshorter?\)