B=(x^2+x)(x^2+x-4)

Đặt a= x^2+x-2

=> B=(a+2)(a-2)=a^2-4

mà a^2>=0 => B>=-4

Dấu = xảy ra <=> a=0<=> x^2+x-2=0

<=> x^2-x+2x-2=0<=> x(x-1)+2(x-1)=0<=>(x-1)(x+2)=0 <=> x=1 hoặc -2

Vậy GTNN của B=-4 tại x=1 hoặc -2

Ta có: \(x+\frac{4}{x}+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{4}{x}}+\frac{2}{x}\)\(=4+\frac{2}{x}\)( áp dụng bất dẳng thức cosi cho x và 4/x)

\(y+\frac{4}{y}+\frac{2}{y}\ge2\sqrt{y.\frac{4}{y}}+\frac{2}{y}=4+\frac{2}{y}\)

Cộng vế với vế,ta được: \(M\ge8+\frac{2}{x}+\frac{2}{y}=8+\frac{2x+2y}{xy}\)

\(\Rightarrow M\ge8+\frac{2\left(x+y\right)}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\)(*)  \(\Rightarrow M\ge8+\frac{8}{x+y}\)\(\ge8+\frac{8}{4}=10\)( do \(x+y\le4\)nên \(\frac{8}{x+y}\ge\frac{8}{4}\))

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)

Vậy \(Mmin=10\Leftrightarrow a=b=2\)

ps:(*): do \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)nên khi nghịch đảo thì \(\frac{2}{xy}\le\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}\), từ đó nhân x+y vào hai vế

Dự đoán điểm rơi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Khi đó:

\(S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(=\left(a+b+c+\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)+8\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)\)

\(\ge6\sqrt[6]{a\cdot b\cdot c\cdot\frac{1}{9a}\cdot\frac{1}{9b}\cdot\frac{1}{9c}}+24\sqrt[3]{\frac{1}{9a}\cdot\frac{1}{9b}\cdot\frac{1}{9c}}\)

\(=2+\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge2+\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{\frac{a+b+c}{3}}\ge10\)

Mù mắt với AM-GM cho 10 số:v

\(S=\left(a+b+c\right)+9\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)\)\(\ge10\sqrt[10]{\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{9b}+\frac{1}{9c}\right)^9}\)\(\ge10\sqrt[10]{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)\left[3\sqrt[3]{\frac{1}{9^3abc}}\right]^9}=10\sqrt[10]{\left(3\sqrt[3]{abc}\right).\left[3^9\left(\frac{1}{9^3abc}\right)^3\right]}\)

\(=10\sqrt[10]{3^{10}.\frac{\sqrt[3]{abc}}{\left(3^6abc\right)^3}}=10\sqrt[10]{\frac{1}{3^8\sqrt[3]{\left(abc\right)^8}}}\ge10\sqrt[10]{\frac{1}{3^8\sqrt[3]{\left[\frac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\right]^8}}}\ge10\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Vậy.....

\(A=x^2+10y^2+2xy-6y+5\)

\(A=x^2+2xy+y^2+9y^2-6y+1+4\)

\(A=\left(x+y\right)^2+\left(3y+1\right)^2+4\)

Mà \(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2\ge0\\\left(3y+1\right)^2\ge0\\4>0\end{cases}}\)

=> A luôn dương với mọi x ; y

\(B=x-x^2-1\)

\(B=-\left(x^2-x+1\right)\)

\(B=-\left(x^2-x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\right)\)

\(B=-\left[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\)

\(B=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{3}{4}\)

Mà \(\hept{\begin{cases}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le0\\-\frac{3}{4}< 0\end{cases}}\)

=> B luôn âm với mọi x