Cho đường tròn (O) một điểm M cố định không nằm trên đường tròn, qua M kẻ cát tuyến cắt (O) tại A và B. CMR tích MA.MB không đổi
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm, ta có: \(0< \sqrt[3]{yz.1}\le\frac{y+z+1}{3}\Rightarrow\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\ge\frac{3x}{y+z+1}\)
Làm tương tự với 2 hạng tử còn lại rồi cộng theo vế thì có:
\(\frac{x}{\sqrt[3]{yz}}+\frac{y}{\sqrt[3]{zx}}+\frac{z}{\sqrt[3]{xy}}\ge3\left(\frac{x}{y+z+1}+\frac{y}{z+x+1}+\frac{z}{x+y+1}\right)\)
\(=3\left(\frac{x^2}{xy+xz+x}+\frac{y^2}{xy+yz+y}+\frac{z^2}{zx+yz+z}\right)\ge^{Schwartz}3.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=3.\frac{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}{x+y+z+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge9.\frac{xy+yz+zx}{\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=9.\frac{xy+yz+zx}{3+2.3}=xy+yz+zx\) => ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1.
\(A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}+\frac{2x+8}{2x-4}\)
\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)+\left(\sqrt{x}+2\right)^2}{x-4}+\frac{2x+8}{2x-4}\)
\(=\frac{x-2\sqrt{x}+x+4\sqrt{x}+4}{x-4}+\frac{2x+8}{2x-4}\)
\(=\frac{2x+2\sqrt{x}+4}{x-4}+\frac{2x+8}{2x-4}\)
Quy đồng lên thử ....
Coi lại cái đề hộ -.-
Ta có:\(7⋮7\Rightarrow7x^2⋮7;714⋮7\)
\(\Rightarrow3y^2⋮7\)
Mà \(\left(3,7\right)=1\Rightarrow y^2⋮7\Rightarrow y^2⋮49\)(tính chất số chính phương)
Lại có:\(3y^2\le714\Rightarrow y^2\le238\)
\(\Rightarrow y^2\in\left\{49;196\right\}\)vì y là số chính phương
Với \(y^2=49\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=7\Rightarrow x=\pm9\\y=-7\Rightarrow7x^2=567\Rightarrow x^2=81\Rightarrow x=\pm9\end{cases}}\)
tương tự với \(y^2=196\)nhé
Giải
Trường hợp M ở bên trong đường tròn (O)
Kẻ cát tuyến AB bất kỳ và kẻ đường thẳng MO cắt đường tròn tại C và D.
Xét hai ∆MAC và ∆MBD:
ˆAMC=ˆBMDAMC^=BMD^ (đối đỉnh)
ˆA=ˆDA^=D^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BCBC⏜
Suy ra: ∆MAC đồng dạng ∆MDB (g.g)
⇒MBMC=MDMA⇒MBMC=MDMA
⇒MA.MB=MC.MD⇒MA.MB=MC.MD (1)
Vì M, O cố định suy ra điểm C và D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi ⇒⇒ tích MC.MD không đổi (2)
Từ (1) và (2) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến AB thay đổi.
Trường hợp điểm M ở ngoài đường tròn (O)
Kẻ cát tuyến MAB bất kỳ của (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D
Xét ∆MAD và ∆MCB:
ˆMM^ chung
ˆB=ˆDB^=D^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ACAC⏜)
Suy ra: ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g.g)
⇒MC.MA=MB.MD⇒MA.MB=MC.MD⇒MC.MA=MB.MD⇒MA.MB=MC.MD (3)
Vì M và O cố định suy ra điểm C, D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi ⇒⇒ tích MC. MD không đổi (4)
Từ (3) và (4) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.