Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). K nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AOC và nằm trong tứ giác. Đường tròn (K;KA) lần lượt cắt AB,AD tại M,N khác A. (K) cắt (O) tại G khác A. MN theo thứ tự cắt CB,CD tại P,Q. KG cắt MN tại J. Chứng minh \(\frac{MP}{NQ}=\frac{JM}{JN}\)?
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
12 tháng 2 2019
A B C K Q G H E I F
Gọi I là giao điểm của CQ và AH, F là giao của BK và AG.
Áp dụng ĐL Céva cho \(\Delta\)AKB: \(\frac{CK}{CA}.\frac{EA}{EB}.\frac{FB}{FK}=1\). Mà \(\frac{EA}{EB}=1\) nên \(\frac{CK}{CA}=\frac{FK}{FB}\)
=> CF // AB (ĐL Thales đảo). Do AB vuông góc AC nên CF vuông góc AC (1)
Áp dụng ĐL Mélelaus cho \(\Delta\)CKQ với bộ điểm (H I A) thẳng hàng: \(\frac{HQ}{HK}.\frac{IC}{IQ}.\frac{AK}{AC}=1\)
Tương tự với \(\Delta\)FKQ: \(\frac{HQ}{HK}.\frac{GF}{GQ}.\frac{BK}{BF}=1\)
Từ đó: \(\frac{HQ}{HK}.\frac{IC}{IQ}.\frac{AK}{AC}=\frac{HQ}{HK}.\frac{GF}{GQ}.\frac{BK}{BF}\). Mà \(\frac{AK}{AC}=\frac{BK}{BF}\)(ĐL Thales)
Nên \(\frac{IC}{IQ}=\frac{GF}{GQ}\). Áp dụng ĐL Thales đảo cho \(\Delta\)CQF, suy ra: GI // CF (2)
Từ (1) và (2) suy ra: GI vuông góc AC. Do đó: I là trực tâm của \(\Delta\)ACG => CI vuông góc AG
Hay ^AQC = 900 => Q nằm trên đường tròn đường kính AC cố định (đpcm).
KS
1
11 tháng 2 2019
Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: x^2=-x+2
<=>x^2+x-2=0
<=>(x+2)(x-1)=0
<=>x=-2 hoặc x=1
x=-2=>y=4
x=1=>y=1
Vậy tọa đọ giao điểm của (d) và (p) là (-2;4) và (1;1
#HC TỐT BN NHÁ#
AI K MK,MK K LẠI,IB MK,MK SẼ TRẢ
10 tháng 8 2022
vì n là số nguyên suy ra n chia hết cho 3 chia 3 dư 1 hoặc chia 3 dư 2 nên n chỉ có thể là 3k+1,3k+2 hoặc 3k .nếu n = 3k+3 thì n sẽ tg tự với 3k vì chia hết cho 3