Chứng minh: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)  (1)

Có: \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)

\(VT=\frac{x}{x}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{x}+\frac{y}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{z}{z}\)

\(=\left(\frac{x}{x}+\frac{y}{y}+\frac{z}{z}\right)+\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\)

\(\ge3+2+2+2=9=VP\) (dễ dàng CM được \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\) và cũng tương tự còn lại)

Áp dụng (1) vào bài toán: \(\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\ge\frac{9}{b+b+a}=\frac{9}{2b+a}\)

                                       \(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{b+c+c}=\frac{9}{b+2c}\)

                                        \(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge\frac{9}{c+a+a}=\frac{9}{c+2a}\)

Cộng vế theo vế ta được: \(3\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)

                                         \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\left(\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}\right)\)

=> ĐPCM

P/s: ko chắc ạ, sai sót xin bỏ qua -.-

Hệ phương trình nào bạn

A B C K Q G H E I F

Gọi I là giao điểm của CQ và AH, F là giao của BK và AG.

Áp dụng ĐL Céva cho \(\Delta\)AKB: \(\frac{CK}{CA}.\frac{EA}{EB}.\frac{FB}{FK}=1\). Mà \(\frac{EA}{EB}=1\) nên \(\frac{CK}{CA}=\frac{FK}{FB}\)

=> CF // AB (ĐL Thales đảo). Do AB vuông góc AC nên CF vuông góc AC    (1)

Áp dụng ĐL Mélelaus cho \(\Delta\)CKQ với bộ điểm (H I A) thẳng hàng: \(\frac{HQ}{HK}.\frac{IC}{IQ}.\frac{AK}{AC}=1\)

Tương tự với \(\Delta\)FKQ: \(\frac{HQ}{HK}.\frac{GF}{GQ}.\frac{BK}{BF}=1\)

Từ đó: \(\frac{HQ}{HK}.\frac{IC}{IQ}.\frac{AK}{AC}=\frac{HQ}{HK}.\frac{GF}{GQ}.\frac{BK}{BF}\). Mà \(\frac{AK}{AC}=\frac{BK}{BF}\)(ĐL Thales)

Nên \(\frac{IC}{IQ}=\frac{GF}{GQ}\). Áp dụng ĐL Thales đảo cho \(\Delta\)CQF, suy ra: GI // CF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: GI vuông góc AC. Do đó: I là trực tâm của \(\Delta\)ACG => CI vuông góc AG

Hay ^AQC = 90⁰ => Q nằm trên đường tròn đường kính AC cố định (đpcm).

k mk nhá bn

hc tốt