Ta có BĐT sau: \(\sqrt{\frac{1+a^2}{b+c}}\ge\frac{a+1}{\sqrt{2\left(b+c\right)}}\)(*) 

Thật vậy, với a,b,c dương, ta có: (*)\(\Leftrightarrow\frac{1+a^2}{b+c}\ge\frac{\left(a+1\right)^2}{2\left(b+c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1+a^2}{b+c}\ge\frac{\frac{\left(a+1\right)^2}{2}}{b+c}\Leftrightarrow1+a^2\ge\frac{a^2}{2}+a+\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-1\right)^2}{2}\ge0\)(đúng với mọi \(a\inℝ\))

Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{1+b^2}{c+a}}\ge\frac{b+1}{\sqrt{2\left(c+a\right)}}\)(2); \(\sqrt{\frac{1+c^2}{a+b}}\ge\frac{c+1}{\sqrt{2\left(a+b\right)}}\)(3)

Cộng theo vế của các BĐT (*), (2), (3), ta được:

\(\Sigma\sqrt{\frac{1+a^2}{b+c}}\ge\Sigma\frac{a+1}{\sqrt{2\left(b+c\right)}}\ge\Sigma\frac{a+1}{\frac{\left(b+c\right)+2}{2}}=\Sigma\frac{2\left(a+1\right)}{b+c+2}\)

\(=\Sigma\left(\frac{2a^2}{ab+ca+2a}+\frac{2}{b+c+2}\right)\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)+\left(a+b+c\right)}+\frac{9}{a+b+c+3}\)(Theo BĐT Bunhiacopxki dạng phân thức)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+\left(a+b+c\right)}+\frac{9}{a+b+c+3}\)

\(\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{a+b+c+3}+\frac{9}{a+b+c+3}=\frac{3\left(a+b+c+3\right)}{a+b+c+3}=3\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Vì a;b;c dương nên tồn tại \(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\)

Đặt:\(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\rightarrow x;y;z\)

Ta viết lại bđt cần chứng minh: \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge3\left(x^2yz+y^2xz+z^2xy\right)\)

Ta có: \(\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge3\left(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy: \(x^2y^2+y^2z^2\ge2\sqrt{x^2y^4z^2}=2xy^2z\)

\(y^2z^2+z^2x^2\ge2\sqrt{x^2y^2z^4}=2xyz^2\)

\(x^2z^2+x^2y^2\ge2\sqrt{x^4y^2z^2}=2x^2yz\)

Cộng theo vế và rg:

\(x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2\ge xyz^2+x^2yz+xy^2z\)

-> đpcm. Bằng khi x=y=z hay a=b=c

Gọi d là ước chung lớn nhất của x, y thì ta có

\(\hept{\begin{cases}x=da\\y=db\end{cases}}\)với a, b nguyên tố cùng nhau

Thế vào bài toán ta được

\(d^3a^3-d^3b^3=95\left(d^2a^2+d^2b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow d\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=95\left(a^2+b^2\right)\)

Dễ thấy \(a^2+ab+b^2;a^2+b^2\)nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow95⋮a^2+ab+b^2\)

Tới đây làm nốt

b/ \(\left(x-y\right)^3+\left(y-x\right)^3+3|2-x|=27\)

\(\Leftrightarrow|2-x|=9\)

sao mình làm ra nó bằng 3/2 đc mà lại ko bé hơn nhỉ

đặt mỗi mẫu một ẩn, dùng cô-si là ra

tự chứng minh x³ +y³ +z³= 3xyz. 

Từ x +y +z =0 => \(\hept{\begin{cases}y+z=-x\\x+z=-y\\x+y=-z\end{cases}}\)

Xét: \(\frac{x^2}{y^2+z^2-x^2}\)=\(\frac{x^2}{\left(y+z\right)^2-2yz-x^2}\)=\(\frac{x^2}{x^2-2yz-x^2}\)=\(\frac{x^2}{-2yz}\)

Tương tự ta có \(\frac{y^2}{x^2+z^2-y^2}\)=\(\frac{y^2}{-2xz}\); \(\frac{z^2}{x^2+y^2-z^2}\)=\(\frac{z^2}{-2xy}\)

=> P= \(\frac{x^2}{-2xy}-\frac{y^2}{2xz}-\frac{z^2}{2xy}\)=\(\frac{x^3}{-2xyz}-\frac{y^3}{2xyz}-\frac{z^3}{2xyz}\)=\(\frac{1}{-2xyz}\left(x^3+y^3+z^3\right)\)=\(\frac{3xyz}{-2xyz}=\frac{-3}{2}\)

Tui mới lớp 8 cũng làm đc nhá!!!

dùng cô si ngược bạn

Full Moon giỏi thì làm đi, cứ ns z mà có làm đc bài nào đâu