Hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn các em giải dạng toán lớp 8 nâng cao chuyên đề chứng minh một tổng chia hết cho một số, cấu trúc đề thi hsg, thi chuyên. Bằng phương pháp gián tiếp quy nạp toán học.

          Bước 1: Thông qua dư liệu đề bài, đưa về một yêu cầu mới tương đương với yêu cầu của đề bài, mà sau đó ta có thể dùng phương pháp quy nạp để chứng minh.

         Bước 2: dùng phương pháp quy nạp để chứng minh

        Bước 3: kết luận

38ⁿ + 1 ⋮ 39 ( ∀ n lẻ);    n lẻ ⇒ n = 2d + 1 ; d \(\in\) N

như vậy cm 38ⁿ + 1 ⋮ 39 \(\forall\) n lẻ nghĩa là cm : 38^{2d + 1}+ 1⋮ 39 ∀ d \(\in\) N

Ta có với d = 1 thì 38^2d+1 + 1 = 38³ + 1 = 54873 ⋮ 39 (đúng)

Giả sử biểu thức đúng với d = k tức là: 38^2k+1 + 1 ⋮ 39

Ta cần chứng minh: biểu thức đúng với d = k + 1 

Tức là chứng minh: 38^2(k+1)+1 + 1 ⋮ 39 

Thật vậy ta có:   38^2(k+1)+1 + 1  = 38^2k+3  + 1  = 38^2k+1. 38² + 1

                 Vì      38^2k+1 + 1 ⋮ 39 

                 ⇒ 38^2k+1 \(\equiv\) -1 (mod 39)   ⁽¹⁾

                   38²       \(\equiv\)  1 (mod 39)       ⁽²⁾

                     1         \(\equiv\)   1 (mod 39 )  ⁽³⁾

  Từ (1); (2); (3) ta có: 38^2k+1.38² + 1 \(\equiv\) (-1).1 + 1  (mod 39)

                                ⇒ 38^2k+1.38² + 1 \(\equiv\) 0 (mod 39 )

                                 ⇒ 38^2k+1.38² + 1 ⋮ 39 

Vậy : 38^2d+1 + 1 ⋮ 39 ∀ d \(\in\) N hay  38ⁿ + 1 ⋮ 39 với \(\forall\) n lẻ (đpcm)

Cũng có thể CM bằng cách sử dụng t/c của hằng đẳng thức :

TQ : \(a^n+b^n⋮a+b\) ( a,b là các số nguyên , \(a\ne-b\) , n lẻ )

Ta có : \(38^n+1=38^n+1^n⋮38+1=39\left(đpcm\right)\)

`(x+3)^{3}+(x+3)^{3}`

`=2(x+3)^{3}`

`=2(x^{3}+6x^{2}+9x+27)`

`=2x^{3}+12x^{2}+18x+54`

\(38^{10}=\left(39-1\right)^{10}\)

 Ta đều biết rằng biểu thức này sẽ có dạng \(39P+1\) (nếu muốn viết đầy đủ thì phải dùng khai triển Newton) và vì \(13|39\) nên biểu thức trên cũng có thể được viết dưới dạng \(13Q+1\) (với \(Q=3P\)). Do đó \(38^{10}\) chia 13 dư 1.

 Ta làm tương tự: \(38^9=\left(39-1\right)^9=13R-1\) nên lúc này \(38^9\) chia 13 dư 12.

mik chx học cái đó :<

`(x-7)^{2}-(x-2)^{2}=26`

`<=>(x-7-x+2)(x-7+x-2)=26`

`<=>-5(2x-9)=26`

`<=>2x-9=-26/5`

`<=>2x=19/5`

`<=>x=19/10`

\(\left(x-7\right)^2-\left(x-2\right)^2=26\)

\(< =>x^2-14x+49-\left(x-2\right)^2=26\)

\(< =>x^2-14x+49-\left(x^2-4x+4\right)=26\)

\(< =>x^2-14x+49-x^2+4x-4=26\)

\(< =>-10x+49=26+4\)

\(< =>-10x=30-49\)

\(< =>-10x=-19\)

\(< =>x=\dfrac{19}{10}\)

 Ta sẽ chứng minh rằng với mọi \(n\inℕ\) thì \(7^{4n+3}\) luôn có 2 chữ số tận cùng là 43.   (*)

 Thật vậy, với \(n=0\) thì \(7^3=343\) có 2 chữ số tận cùng là 43.

 Giả sử khẳng định đúng đến \(n=k\), khi đó \(7^{4k+3}=\overline{a_1a_2...a_t43}=\left(100A+43\right)\)

 Với \(n=k+1\), ta có \(7^{4\left(k+1\right)+3}=7^{4k+3+4}=7^{4k+3}.7^4\) 

\(=\left(100A+43\right).2401\) 

\(=\left(100A+43\right)\left(2400+1\right)\) 

\(=240000A+100A+103200+43\)

\(=100B+43\) có 2 chữ số tận cùng là 43.

 Vậy (*) được chứng minh. Nhận thấy \(43=4.10+1\) nên \(7^{43}\) có 2 chữ số tận cùng là 43 (đpcm)

7⁴³ = 7³\(.\)7⁴⁰ = 343 .(7⁴)¹⁰ = 343.(2401)¹⁰ = 343\(\times\).\(\overline{...01}\) =\(\overline{...43}\)(đpcm)

đề đâu m

đề

chảnh quá đề đâu hả

đề